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2023-06-20
相对稳定性分析方法与应用
【摘要】：确定闭环系统的稳定性。例5-15 系统开环传递函数确定k=0.5、1、1.5、1.6时，闭环系统的稳态性能和暂态性能。闭环系统的稳定性可通过阶跃响应曲线加以验证。与上述结论一致。稳态特性分析例5-15中系统为Ⅰ型系统，则在阶跃输入信号下，稳态误差为零。暂态特性分析对稳定的系统，即K=0.5和K=1时，在伯德图中ωc1＜ωc2则有闭环系统的响应速度减慢，快速性变差。
MATLAB命令为[Gm，Pm，Wcg，Wcp]=margin（sys）
该命令计算系统的增益裕量和相位裕量，以及幅值穿越频率和相角穿越频率。当缺省输出量时，在当前窗口绘制系统的伯德图，并标出相位裕量和增益裕量，以及相角穿越频率和幅值穿越频率。
MATLAB提供的函数都允许用户选择特性分析功能，例如，在系统的伯德图上，若右击鼠标则得出快捷菜单；在Characteristics菜单项中可以选择稳定性相关的菜单项，可以得到对系统频域分析的关键点。其他的函数，如nyquist（）和nichols（），都支持自己的Characteristics菜单选择。
（1）绘制bode图、nyquist图及nichols图。
（2）在各图中，标出系统的增益裕量和相位裕量。
（3）确定闭环系统的稳定性。
解：MATLAB程序：
在MATLAB仿真结果的系统奈氏图（如图5-67所示）上，当ω从-∞到+∞时，奈氏曲线没有包围（-l，j0）点，原开环系统为最小相位系统，则闭环系统稳定。
稳定性也可以根据稳定裕量判别，单击鼠标右键，在选项“characteristics”中选择“stability（MinimumCrossing）”，可得到辅助单位圆，以及相位裕量和增益裕量的点。在伯德图和尼柯尔斯图中也可以很容易地读出相位裕量和增益裕量的数值，得到γ（ωc）=33.23°，GM=9.19dB，则闭环系统稳定。
在尼柯尔斯图（如图5-68所示）中，可看到尼氏曲线与M（ω）=5.18dB的等M线相切，则可以确定闭环谐振峰值为Mp=5.18dB，且相应的谐振频率为ωp=24.64rad/s。带宽ωb是M（ω）=-3dB时的角频率，从图中可看到曲线与-3dB的等M（ω）dB曲线的交点对应的角频率就是带宽，可以得到ωb=37.7rad/s。
图5-67 系统幅相特性
图5-68 系统尼柯尔斯图
可结合伯德图（如图5-69所示）来求取ωp和ωb，在叠印等M线的尼柯尔斯图上找到Mp=5.18dB和M（ω）=-3dB对应的开环对数幅值Lp（ω）=-1.19dB和Lb（ω）=-7.56dB，并且在伯德图上可以找到相应的角频率，ωP=24.64rad/s和ωb=37.7rad/s。
在奈氏图（见图5-67）中也可以叠印等M线，幅相频率特性曲线与M（ω）=5.18dB的等M线相切，则可以确定Mp=5.18dB和ωp=24.64rad/s。带宽ωb是幅相频率特性曲线与M（ω）=-3的等M线相交时的角频率，即ωb=37.7rad/s。
例5-15 系统开环传递函数
确定k=0.5、1、1.5、1.6时，闭环系统的稳态性能和暂态性能。
图5-69 系统伯德图
解：MATLAB程序如下。
运行后系统的伯德图、单位阶跃响应曲线及单位斜坡响应曲线分别如图5-70、图5-71和图5-72所示。
图5-70 系统的伯德图
图5-71 系统的单位阶跃响应曲线
图5-72 系统的单位斜坡响应曲线
在伯德图（见图5-70）中，可看到开环放大系数K的变化，使对数幅频特性垂直上下移动，而不改变系统的相频特性。
（1）稳定性分析
在对数幅频特性中，随着k从0.5增大到1.6，开环幅值穿越频率ωc逐渐增大，ωc1＜ωc2＜ωc3＜ωc4，对应的相位裕量逐渐减小，γ1＞γ2＞γ3=0＞γ4，且γ3=0对应K=1.5。根据稳定裕量判定稳定性，则有K＜1.5时，闭环系统稳定；K=1.5时，闭环系统临界稳定；K＞1.5时，闭环系统不稳定。
闭环系统的稳定性可通过阶跃响应曲线加以验证。在图5-71中，当K=0.5和K=1时，阶跃响应曲线衰减振荡，闭环系统稳定；当K=1.5时，阶跃响应曲线等幅振荡，闭环系统临界稳定；当K=1.6时，阶跃响应曲线发散振荡，闭环系统不稳定。与上述结论一致。
（2）稳态特性分析
例5-15中系统为Ⅰ型系统，则在阶跃输入信号下，稳态误差为零。在斜坡输入下，稳态误差与开环放大系数成反比，见图5-72，当K=0.5时，ess=2；当K=1时，ess=1。稳态误差随着K的增大而减小。而当K=1.5和K=1.6时，斜坡输出响应在稳态值上下分别做等幅振荡和发散振荡。
伯德图的低频段过点（ω=1，L（ω）=20lgK），所以可以通过低频段幅值的大小确定稳态误差的大小。
（3）暂态特性分析
对稳定的系统，即K=0.5和K=1时，在伯德图中ωc1＜ωc2则有闭环系统的响应速度减慢，快速性变差。而γ1＞γ2，则有闭环系统的超调量增大，系统振荡性加强。
在闭环系统的阶跃响应曲线中，可以很容易地得出ts1＜ts2，即随着K的增大，快速性变差。而δ1＜δ2，即随着K的增大，振荡性增强。
由以上分析可知，K的增大虽然可以减小稳态误差，但却使稳定性变差，暂态特性也变差。
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