根据式可得系统的开环幅频特性和相频特性。例5-2 某单位负反馈系统为绘制其幅相频率特性的大致曲线。Ⅱ型系统的幅相频率特性如图5-24所示。图5-25例5-3系统的开环幅相频率特性在高频段，A（∞）=0，φ（∞）=-270°。确定开环幅相频率特性与负实轴的方法可根据交点上的特征而定。最小相位系统的开环幅相频率特性满足如下规律。......
2023-06-28
开环放大系数对相位裕量的影响
【摘要】：前面已知幅值穿越频率ωc和开环放大系数K有一定的关系，且和系统型数有关。同样，K值一定，ω1增大时，-40dB/dec的斜率线越远离ωc，对相位裕量的影响越小，所以相位裕量增大。图5-56γmax（ωc）与n之间的关系图可见，合适地选择ωc或K时，将取得最大的相位裕量。中频段的长度对相位裕量有很大影响，中频段越长，相位裕量越大。
前面已知幅值穿越频率ωc和开环放大系数K有一定的关系，且和系统型数有关。下面对三种不同的典型开环对数幅频特性分别讨论。
1.开环频率特性为-1/-2特性
如图5-52所示，其频率特性表达式为
现讨论T1不变时，K对系统的影响。由图5-52知幅值穿越频率ωc发生在低频段，即可得ωc=K。且相位裕量为
γ(ωc)=180°+φ(ωc)=90°-arctanωcT1
显然K增大时，穿越频率ωc增大，-40dB/dec的斜率线更靠近ωc，对相位裕量的影响更大，所以相位裕量减小。同样，K值一定，ω1增大时，-40dB/dec的斜率线越远离ωc，对相位裕量的影响越小，所以相位裕量增大。
2.开环频率特性为-2/-1/-2特性
如图5-53所示，其频率特性表达式为
图5-52 放大系数对系统的影响之一
图5-53 放大系数对系统的影响之二
在ω=ωc时，A（ωc）=1，由此求得
近似得
解得
由式（5-61）可看出K对ωc的影响。设T1、T2固定不变，令
，n称为中频宽，通常把穿越频率ωc附近区段称为中频段。因此，相位裕量可写成
可知在一定的n值下，γ（ωc）将随K而变化，但不是单调关系，为此可以用γ（ωc）求导的方法来确定极值。
可得
即
总的来说，当K、ω1、ω2满足式（5-62），即ωc恰为ω1、ω2的几何平均值时，γ（ωc）将有最大值。
对式（5-62）两边取对数，得
即ωc在对数频率特性中频段的中点，或中频段对称于ωc，这时相位裕量将有最大值。最大相位裕量为
由此可见，最大相位裕量与中频段长度有关，n越大，中频段线段长度越长，最大相位裕量越大。以n作为参变量，γ（ωc）与
的关系曲线如图5-53所示，具有如图5-52所示-2/-1/-2特性。按式（5-62）确定穿越频率的系统，常称为对称最佳系统。而当n=4时，称为三阶工程最佳系统。
3.开环频率特性为-2/-1/-3特性
如图5-54所示，其对数频率特性表达式为
在ω=ωc时，A（ωc）=1，由此求得
图5-54 γ（ωc）与
关系曲线
图5-55 放大系数对系统的影响之三
整理得
设T1、T2固定不变，令
。因此，相位裕量可写成
当ωc（或K）为某一值时，γ（ωc）有最大值。可以用γ（ωc）求导的方法来确定极值：
解之得，当
时，γ（ωc）有最大值。当ω2≫ω1时，可以认为ωc≈
此时，相位裕量γ（ωc）最大。最大相位裕量为
最大相位裕量γmax（ωc）与频比n之间的关系曲线如图5-56所示。
图5-56 γmax（ωc）与n之间的关系图
可见，合适地选择ωc或K时，将取得最大的相位裕量。 -2/-1/-2特性和-2/-1/-3特性系统区别不大，由于后者较前者高频段斜率更大，因此为得到较大的γ（ωc），2/-1/-3特性系统的ωc就要前移，更靠近ω1些，以削弱ω2以后特性的影响。
由此可见，不仅增加放大系数会降低系统的稳定性，降低放大系数也将降低系统的稳定性。有的系统，降低放大系数后甚至会造成不稳定。开环放大系数下降到一定程度时，系统由稳定变为不稳定的系统，常称为条件稳定系统。
所以，一个设计合理的系统，在低频段要满足稳态精度的要求。对于中频段，要注意到暂态特性的要求以确定其线段的形状。中频段形状大致如下。
（1）穿过ωc的幅频特性斜率以-20dB/dec为宜，一般不超过-30dB/dec。
（2）低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段有斜率更大的线段可以提高系统的稳态指标；高频段有斜率更大的线段可以更好地排除高频干扰。
（3）中频段的穿越频率ωc的选择，决定于系统暂态响应速度的要求。
（4）中频段的长度对相位裕量有很大影响，中频段越长，相位裕量越大。
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