陈省身认为最重要的定理是“三角形内角和定理”与“勾股定理”。我们熟知的“三角形内角和定理”仅在平面上成立,而一般曲面上的三角形其内角和就不是常数了。高斯于1827 年证明了曲面上的三角形内角和公式,后法国数学家博内推广了该公式。1944 年陈省身完成了高斯-博内公式的简单内蕴证明,攻克了“几何学中极其重要和困难的问题”,该论文被誉为数学史上划时代的杰作。......
2023-11-23
辐角定理：复数变量s平面内的极点和零点辐角之和相等
【摘要】：s是复数变量，在s平面上可表示为s=σ+jω。不失一般性，取s平面上F的零点、极点及闭合路径，如图5-34所示。图5-34辐角定理示意图当s沿ΓS绕行时，∠和∠将随之变化。由式得式中，为F所有零点辐角之和；为F所有极点幅角之和。假设F在Γs之内有Z个零点和P个极点，当s沿Γs顺时针方向绕行一圈时，F的相角变化为相角变化-2π相当于ΓF按顺时针方向包围F平面的坐标原点一圈。
s是复数变量，在s平面上可表示为s=σ+jω。F（s）是s的有理分式函数，在平面F（s）上表示为F（s）=μ+jν。在s平面上除了F（s）的零点和极点外的任意点si，均可在F（s）平面上找到与之对应的点F（si）。所以，复函数F（s）就是从s平面到F（s）平面的映射，这种映射是一一对应的。在s平面上任选一条闭合路径Γs，它不通过F（s）的任一零点和极点，s沿Γs顺时针运动一周，则相应地在F（s）平面上亦形成一条闭合路径ΓF。
不失一般性，取s平面上F（s）的零点、极点及闭合路径，如图5-34（a）所示。
图5-34 辐角定理示意图
当s沿ΓS绕行时，∠（s+zi）和∠（s+pj）将随之变化。若F（s）的零点（如-z2）、极点（如-p2）在Γs之外，则s沿Γs绕一圈，其相角变化皆等于零；若F（s）的零点或极点（如-z1或-p1）在Γs之内，则s沿Γs顺时针方向绕一圈，矢量（s+zi）或（s+pj）相角变化为-2π。
由式（5-51）得
式中，
为F（s）所有零点辐角之和；
为F（s）所有极点幅角之和。
假设F（s）在Γs之内有Z个零点和P个极点，当s沿Γs顺时针方向绕行一圈时，F（s）的相角变化为
相角变化-2π相当于ΓF按顺时针方向包围F（s）平面的坐标原点一圈。故表示ΓF包围F（s）平面坐标原点的圈数为N=P-Z；ΓF顺时包围原点，N为负；ΓF逆时针包围原点，N为正。
辐角定理：假定在s平面上取闭合路径Γs，包围F（s）的零点数为Z、极点数为P，s顺时针方向沿Γs绕一圈，则在F（s）平面上与之对应的闭合路径ΓF绕原点的圈数为
N=P-Z
若N＞0，则ΓF逆时针包围原点；若N=0，则ΓF不包围原点；若N＜0，则ΓF顺时针包围原点。
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