首页理论教育系统开环对数频率特性分析

系统开环对数频率特性分析

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：开环传递函数可分解为基本环节的串联形式，如式和式，在此基础上，系统的开环对数幅频特性和对数相频特性分别为表明开环系统对数频率特性表现为诸基本环节对数频率特性叠加这一简单的形式。在ωωmin频段，系统开环对数幅频特性渐近线表现为分段折线。系统开环对数幅频渐近特性曲线如图5-29所示。图5-29系统对数频率特性注意到此系统中有一个一阶微分环节，将使相角有正的位移偏向。

开环传递函数可分解为基本环节的串联形式，如式（5-43）和式（5-44），在此基础上，系统的开环对数幅频特性和对数相频特性分别为

pagenumber_ebook=131,pagenumber_book=120

表明开环系统对数频率特性表现为诸基本环节对数频率特性叠加这一简单的形式。

因此，对于系统的开环对数频率特性的绘制，可先做出开环系统所包含的各基本环节的对数频率特性曲线，然后采用叠加的方法得到系统的开环对数频率特性曲线。实际应用中，绘制开环对数频率特性，并不是应用叠加的方法，而是采用工程绘制方法。

1.开环对数幅频特性的绘制

对于给定的开环传递函数，可按基本环节分解，一般分成三部分。

（1）K·s±N，即积分环节或理想微分环节。

（2）一阶环节（Ts+1）±1，即惯性环节或一阶微分环节，交接频率为。

（3）二阶环节[T2s2+2ζTs+1]±1，即振荡环节或二阶微分坏节，交接频率为。

记ωmin为最小交接频率，称ω＜ωmin的频率范围为低频段。

开环对数幅频特性曲线的工程绘制的一般步骤如下。

（1）开环传递函数基本环节的分解。

（2）确定一阶环节、二阶环节的交接频率，将各交接频率标注在半对数坐标图的轴上。

（3）绘制低频段渐近特性线。

过[ω0，L（ω0）]点在ω＜ωmin范围内作斜率为±20×NdB/dec的直线。显然，若有ω0＞ωmin，则低频渐近线的延长线过点[ω0，L（ω0）]。

点（ω0，L（ω0））的确定方法如下。

①方法一：在ω＜ωmin范围内，任选一点频率ω0，计算

式（5-47）中，K为系统的开环增益或开环放大系数。

②方法二：取频率为特定值ω0=1，则

③方法三：取L（ω0）为特殊值0，则有20lgK-20Nlgω0=0，即

低频渐近线斜率的确定：由于一阶环节和二阶环节的对数幅频特性曲线在交接频率前斜率为0dB/dec，在交接频率处斜率发生变化，故在ω＜ωmin频段内，开环系统幅频渐近线的斜率取决于K·s±N的环节，因而直线斜率为±20×NdB/dec。

（4）作ω≫ωmin频段渐近特性曲线。

在ω≫ωmin频段，系统开环对数幅频特性渐近线表现为分段折线。每两个相邻交接频率之间为直线，在每个交接频率处斜率发生变化，变化规律取决于该交接频率对应的基本环节的种类，如表5-1所示。

表5-1　交接频率处斜率的变化情况

pagenumber_ebook=132,pagenumber_book=121

应该注意的是，当系统的多个环节具有相同交接频率时，该交接频率处斜率的变化应为各个环节对应的斜率变化值的代数和。

以±20×NdB/dec的低频段渐近线为起始直线，按交接频率由小到大的顺序，由表5-1确定斜率变化，再逐一绘制直线，可得系统开环对数幅频渐近特性。

另外，把开环对数幅频特性L（ω）通过0分贝线时的频率称为穿越频率或截止频率，记为ωc，即

L（ωc）=0或A（ωc）=1

后面的分析中将会看到，穿越频率ωc是一个很重要的参量。

2.开环对数相频特性的绘制

首先在低频区，开环对数相频特性从±N（90）°开始；而在高频区，即ω→∞时，开环对数相频特性趋于-（n-m）90°。然后，在中间频率范围内计算几个点的值。最后，将各点光滑连接起来，即可得开环对数相频特性曲线。

工程上，并不要求把整个频率范围内的对数相频特性都准确画出来，而最感兴趣的是穿越频率ωc附近的相位移，因为判断系统的稳定性及确定系统的暂态特性都是用ωc这一点讨论的。所以要求在ωc附近的相频特性要比较准确。

例5-5 绘制下列系统的伯德图：

pagenumber_ebook=133,pagenumber_book=122

解：系统的频率特性为

可见，开环传递函数包含以下基本环节：比例环节25，积分环节（jω）-1，一阶微分环节（jω+1），一阶惯性环节（0.25jω+1）-1和（10jω+1）-1。

（1）确定各交接频率ωi，并标在半对数坐标平面的ω轴上。有一个时间常数项就对应有一个交接频率。本例有三个交接频率，即ω1=0.1，ω2=1，ω3=4，最小交接频率为ωmin=ω1=0.1。

（2）绘制低频段（ω＜ωmin）渐近特性曲线。因为N=1，则低频渐近线斜率为-20dB/dec，且ω0=1时，L（ω0）=201gK=201g25=28dB，则低频渐近线延长线过点[ω0，L（ω0）]=（1，28）。

（3）绘制频段ω≥ωmin的渐近特性曲线。

低频渐近线遇到ω1=0.1时，斜率增加-20dB/dec；遇到ω2=1时，斜率增加20dB/dec；遇到ω3=4时，斜率增加-20dB/dec。

系统开环对数幅频渐近特性曲线如图5-29所示。

（4）对数相频特性φ（ω）=-90°+arctanω-arctan0.25ω-arctan10ω，取几个特殊点列表计算各点的相角，并标注在对数坐标图中，最后光滑连接，如图5-29所示。

pagenumber_ebook=134,pagenumber_book=123

pagenumber_ebook=134,pagenumber_book=123

图5-29　系统对数频率特性

注意到此系统中有一个一阶微分环节（jω+1），将使相角有正的位移偏向。则在0.1＜ω＜1时，有极小值；在1＜ω＜10时，有极大值。令φ′（ω）=0得ωm1≈0.39，ωm2≈1.78，φ（ωm1）=-149.89°，φ（ωm2）=-140.11°