系统的闭环特征方程为取其模值得模值方程为取其相角得相角方程为模值方程和相角方程成为根轨迹方程，从这两个方程可以看出，模值方程与增益K*有关，而相角方程与增益K*无关。所以，相角方程式决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的开环增益值。，sn为闭环极点，在根轨迹图中用Δ表示。......
2023-06-28
如何绘制根轨迹的规则和方法
【摘要】：规则2：根轨迹的对称性。会合角是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。规则8：根轨迹的起始角与终止角。终止角的计算公式如下：如图4-7所示，z1点的终止角计算式为图4-7根轨迹的终止角规则9：根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益。设根轨迹上的一点sk确定，则可根据模值方程求出对应的K*和K。例4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制K从0→∞变化时闭环的根轨迹图。
规则1：根轨迹的分支数。
n阶系统根轨迹有n条分支。n阶系统的特征方程有n个特征根，当开环增益K由0到+∞增大，则n个特征根跟随变化。
规则2：根轨迹的对称性。
实轴上的根或者共轭复根的成对出现，决定根轨迹是关于实轴对称的。
规则3：根轨迹的起点、终点。
根轨迹起于开环极点pi，终止于开环零点zj（m条），或趋于无穷远点（n-m条）。
规则4：根轨迹在实轴上的分布。
实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与开环极点数目之和为奇数。相反，如果右侧零点与极点数目之和为偶数，则所在区段不属于根轨迹。
可通过相角方程进行分析。总的相角为奇数个π，即（2k+1）π。若s1为根轨迹上的一点，在s1左侧的开环零极点所引矢量均为0o，故对相角方程无影响。如果有复数开环零极点，因为是共轭复数，而相角之和为0o，只有位于实轴上s1点右侧的开环零极点引向s1点的矢量的相角均为π，所以只有奇数个开环零极点，才能满足相角方程。
规则5：根轨迹的渐近线。
当n＞m时，将有（n-m）条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为
渐近线与实轴交点坐标为
常见n-m=1，2，3，4时渐近线的图像如图4-5所示。
图4-5 n-m=1，2，3，4时渐近线的图像
观察发现：渐近线条数为（n-m）条，而这些渐近线将s平面以σα为中心进行等分，几个渐近线之间的夹角为
，这样只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就很容易求出其他渐近线的位置。
规则6：根轨迹的分离点（或会合点）坐标sd。
两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后又立即分开的点，称为分离点。
分离点满足方程：
首先，判断是否有分离点。一般情况下，如果实轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间（或其中一个零点是无穷远零点），则两零点之间也至少存在一个分离点。其次，确定分离点可能处的大概位置在实轴上或以共轭形式出现在复平面上。一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分离点。注意：开环零、极点位置的变化影响根轨迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段上的点，才是分离点，否则舍掉。
规则7：根轨迹的分离角（与会合角）。
分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。
会合角是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。
实轴上分离点的分离角为90°、-90°或0°、180°；实轴上会合点的会合角为0°、180°或90°、-90°。一般情况下，两条根轨迹相遇又分开时，它们的会合角和分离角分别是0°、180°和90°、-90°，或者相反。这一规律具有一般性。
规则8：根轨迹的起始角与终止角。
起始角是指根轨迹在起点处的切线与实轴正方向的夹角。起始角的计算公式如下：
如图4-6所示，P1点的起始角计算式为
θp1=(2k+1)π+∠(p1-z1)-∠(p1-p2)-∠(p1-p3)
图4-6 根轨迹的起始角
终止角是指根轨迹进入开环零点处的切线与实轴正方向的夹角。终止角的计算公式如下：
如图4-7所示，z1点的终止角计算式为
图4-7 根轨迹的终止角
规则9：根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一对共轭虚根。因此，将s=jω代入特征方程中就可求得ω和K*，即根轨迹与虚轴交点的坐标及交点所对应的临界根轨迹增益K。
将s=jω代入特征方程中，得
1+G(jω)H(jω)=0
分别使该方程的实部和虚部等于零，得
解方程组可求得ω、K*以及其对应的临界开环增益K值。
规则10：闭环极点（根）的和与积。
设系统的闭环特征方程可写成
sn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0
并设它的n个根为s1，s2，…，sn。
则根据代数方程的根与系数的关系可知，有
把系统的传递函数写成
如果开环零、极点的数目满足n-m≥2，则闭环特征方程为
当m=0，即没有开环零点时，上式左端最后一项应为
由此得到，系统闭环极点之和为
即：闭环极点之和等于开环极点之和。
系统闭环极点之积为
或
规则11：求解K*和K。
设根轨迹上的一点sk确定，则可根据模值方程求出对应的K*和K。
例4-1 单位负反馈系统的开环传递函数
，试作K（由0→∞）变动的系统闭环根轨迹。
解：
（1）开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2；无开环零点。
（2）n=3，根轨迹有3条分支。
（3）K=0时，根轨迹起始于p1，p2，p3；K→∞时，皆趋于无穷远处。
（4）实轴上的根轨迹区段：（-1，0），（-∞，-2）。
（5）渐近线：
（6）分离点sd：
由公式
可得
解之，得sd=-0.42，sd=-1.58（舍掉）
（7）分离角：
（8）根轨迹与虚轴交点坐标与临界增益。
令s=jω，代入特征方程：
将实部和虚部分别写成方程式，并解之得
所以，与虚轴交点坐标为
临界增益K=3。根轨迹图如图4-8所示。
图4-8 例4-1根轨迹图
例4-2 单位负反馈系统的开环传递函数为
试绘出K*由0→∞变动的根轨迹。
解：（1）系统开环极点：p1=0，p2，3=-0.5±1.5j，p4=-2.5；系统开环零点：z1=-1.5，z2，3=-2±j。
（2）实轴上（-1.5，0），（-∞，-2.5）为根轨迹段。
（3）渐近线：n=4，m=3。由n-m=1可知，有一条根轨迹趋于无穷远处。
（4）起始角与终止角：
同理，开环极点p3处的起始角：θp3=-79°。
开环零点z2处的终止角：
同理，开环零点z3处的终止角：θz3=-149.5°。
例4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数
，试绘制K从0→∞变化时闭环的根轨迹图。
解：（1）开环极点：p1=0，p2=-3，p3，4=-1±j无开环零点。
（2）n=4，根轨迹有4条分支。
（3）K=0时，根轨迹起始于p1，p2，p3，4；K→∞时，皆趋于无穷远处。
（4）实轴上的根轨迹区段：（-3，0）。
（5）渐近线：
（6）分离点坐标sd。
由公式
解之，得
（7）分离角：
（8）起始角：
（9）根轨迹与虚轴交点坐标及临界增益。
令s=jω，代入特征方程：
将实部和虚部分别写成方程式：
解之，得
（10）求K=8.16时所对应的另外两个闭环根。
利用根之和与根之积的关系式，得到
已知s1，2=±j1.095，则s3，4=-2.5±j0.742。所以，根轨迹图如图4-9所示。
图4-9 例4-3根轨迹图
例4-4 已知系统的结构图，如图4-10所示。
图4-10 例4-4系统结构图
试证明：在b＞a＞0时，K从0→∞变化的闭环根轨迹其复数部分为圆，并求圆的半径和圆心。
解：（1）开环极点：p1=0，p2=-a；
开环零点：z1=-b。
（2）n=2，根轨迹有2条分支。
（3）K=0时，根轨迹起始于p1，p2；K→∞时，根轨迹一条终止于z1，另一条趋于无穷远处。
（4）实轴上的根轨迹区段：（-a，0），（-∞，-b）。
（5）渐近线：因为n-m=1，所以φa=180°。
（6）分离点坐标sd。
由公式
求得两个分离点坐标分别为
证明：两分离点之间的根轨迹为圆，如图4-11所示。
由于根轨迹上任一点都满足闭环特征方程，设根轨迹复数部分任一点s=σ+jω，代入特征方程中
展开，整理，令
图4-11 例4-4根轨迹图
将K代入整理，得到
(σ+b)2+ω2=b2-ba
显然这是以σ，ω为变量的圆的方程，其圆心坐标为（-b，0），半径为
从例题中可以发现：由两个极点（实数极点或复数极点）和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心到分离点的距离为半径的圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
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