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根轨迹方程的求解方法

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：系统的闭环特征方程为取其模值得模值方程为取其相角得相角方程为模值方程和相角方程成为根轨迹方程，从这两个方程可以看出，模值方程与增益K*有关，而相角方程与增益K*无关。所以，相角方程式决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的开环增益值。，sn为闭环极点，在根轨迹图中用Δ表示。

一般闭环控制系统框图如图4-3所示。系统的闭环传递函数为

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图4-3　系统结构图

系统的开环传递函数G（s）H（s）可表示为

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式中，pi是分母多项式方程的根，为开环传递函数的极点；zj是分子多项式方程的根，为开环传递函数的零点；K*是根轨迹增益，与开环增益成正比，则系统的闭环传递函数为

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式中，si为闭环传递函数的极点，zφj为闭环传递函数的零点， pagenumber_ebook=89,pagenumber_book=78 为闭环根轨迹增益。式（4-3）为系统闭环传递函数的零极点表达式。

开环传递函数是由元件较简单的传递函数组成的，大部分具有串联形式，因而开环传递函数的零、极点比较容易确定。关键是闭环极点（闭环特征根）si的求取比较难。怎样才能不通过直接解闭环特征方程而找出闭环极点si在增益K*变动下的规律性，画出系统的根轨迹呢？

系统的闭环特征方程为

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取其模值得模值方程为

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取其相角得相角方程为

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模值方程和相角方程成为根轨迹方程，从这两个方程可以看出，模值方程与增益K*有关，而相角方程与增益K*无关。因此，将满足相角方程的s值代入模值方程中，总能求得一个对应的K*值，即s值如果满足相角方程，也一定满足模值方程。所以，相角方程式决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的开环增益值。

系统的零、极点分布与模值、相角如图4-4所示。

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图4-4　系统的零、极点与模值、相角图

表示方式：

p1，p2，…，pn为开环极点，在根轨迹图中用×表示；

z1，z2，…，zm为开环零点，在根轨迹图中用°表示；

s1，s2，…，sn为闭环极点，在根轨迹图中用Δ表示。

注意：

（1）相角的方向规定以逆时针方向为正，即矢量与实轴正方向的夹角；

（2）绘制根轨迹时，s平面的实轴比例尺要与虚轴相同，正确反映出s平面上坐标位置与相角的关系；

（3）注意区别系统根轨迹增益K*和系统开环增益K，二者存在定量比例关系。