如何计算参考输入作用下的稳态误差？

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：下面分别讨论典型输入信号作用下控制系统的稳态误差。表3-1给出了各种系统类型在不同输入信号作用下系统的稳态误差。但是在计算系统稳态误差前，必须先判断系统的稳定性；其次开环增益K必须是在开环传递函数标准形式下，与式相似；该规律只适用于参考输入信号作用下的计算，其他信号作用下应用终值定理计算。

当扰动信号D（s）=0时，系统的稳态误差为

设系统的开环传递函数为

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式中，K为系统的开环增益，τi、Tj为时间常数，v为积分环节的个数。系统类型通常是根据开环传递函数中积分环节的个数来分类的，当v=0，1，2时，则称系统为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。

将式（3-46）代入式（3-45）可得

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由式（3-47）可知，系统的稳态误差ess与开环增益K、积分环节个数v以及输入信号R（s）有关。下面分别讨论典型输入信号作用下控制系统的稳态误差。

1.阶跃信号作用下的系统稳态误差

设阶跃信号为r（t）=A·1（t），则，此时有

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式中，A为阶跃信号的幅值。令，称Kp为静态位置误差系数。

由式（3-48）可得

当v=0时，Kp=K，则；

当v≥1时，Kp=∞，则ess=0。

可见，当系统在阶跃信号作用下，0型系统的稳态误差为定值，且ess与幅值A成正比，与开环增益K成反比，K越大，稳态误差越小，但误差始终存在，常称这类系统为有差系统；Ⅰ型及以上类型系统的稳态误差为零，此时为无差系统。

2.斜坡（速度）信号作用下的系统稳态误差

设斜坡信号为r（t）=At·1（t），则，此时有

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式中，A为斜坡信号的斜率。令，称Kp为静态速度误差系数。

由式（3-49）可得

当v=0时，Kv=0，则ess=∞；

当v=1时，Kv=K，则；

当v≥2时，Kv=∞，则ess=0。

可见，当系统在斜坡信号作用下，0型系统的稳态误差为无穷大，这时系统输出响应跟踪不上斜坡信号；Ⅰ型系统的稳态误差为定值，与斜率A成正比，与开环增益K成反比，K越大，稳态误差越小，表明输出能跟踪斜坡信号，但存在误差；Ⅱ型及以上类型系统的稳态误差为零，说明系统可以无误差跟踪斜坡信号。

3.抛物线（加速度）信号作用下的系统稳态误差

设斜坡信号为，则，此时有

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式中，A为抛物线信号的加速度。令，称Ka为静态加速度误差系数。

由式（3-50）可得

当v≤1时，Ka=0，则ess=∞；

当v=2时，Ka=K，则；

当v≥3时，Ka=∞，则ess=0。

可见，当系统在抛物线信号作用下，0型和Ⅰ型系统的稳态误差为无穷大，这时系统输出响应不能跟踪输入信号；Ⅱ型系统的稳态误差为定值，与斜率A成正比，与开环增益K成反比，K越大，稳态误差越小，表明输出能跟踪输入信号；Ⅱ型以上类型系统的稳态误差为零，说明系统可以无误差跟踪输入信号。

表3-1给出了各种系统类型在不同输入信号作用下系统的稳态误差。

表3-1　输入信号作用下的稳态误差

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表3-1给出了稳态误差与系统结构、参数以及输入信号之间的规律，该规律可以直接得出系统的稳态误差，而不需要用终值定理计算。但是在计算系统稳态误差前，必须先判断系统的稳定性；其次开环增益K必须是在开环传递函数标准形式下，与式（3-46）相似；该规律只适用于参考输入信号作用下的计算，其他信号作用下应用终值定理计算。

例3-9 已知单位反馈控制系统的动态结构图如图3-25所示，试求：

（1）判断系统稳定性；

（2）当输入信号为r（t）=（1+2t+t2）·1（t），求系统的稳态误差。

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