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2025-09-29
如何使用梅逊公式求取系统的传递函数
【摘要】：当系统信号流图已知时，可以用公式直接求出系统的传递函数，这个公式就是梅逊公式。根据梅逊公式计算系统的传递函数，首要问题是正确识别所有的回路并区分它们是否相互接触，正确识别所规定的输入与输出节点之间的所有前向通路及与其相接触的回路。由此得系统的特征式为由图2-25可知，与P1前向通道相接触的回路为L1、L2、L3，因此在Δ中除去L1、L2、L3得P1的特征余子式Δ1=1。
当系统信号流图已知时，可以用公式直接求出系统的传递函数，这个公式就是梅逊公式。由于信号流图和结构图存在着相应的关系，因此梅逊公式同样也适用于结构图。
梅逊公式给出了系统信号流图中，任意输入节点与输出节点之间的增益，即传递函数。其公式为
式中，n——从输入节点到输出节点的前向通路的总条数。
Pk——从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。
Δ——为特征式，由系统信号流图中各回路增益确定：
Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…
式中，∑La——所有单独回路增益之和；
∑LbLc——所有存在的两个互不接触的单独回路增益乘积之和；
∑LdLeLf——所有存在的三个互不接触的单独回路增益乘积之和。
Δk——为第k条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第k条前向通路接触的回路后的Δ值的剩余部分。
上述公式中的接触回路是指具有共同节点的回路，反之称为不接触回路。与第k条前向通路具有共同节点的回路称为与第k条前向通路接触的回路。
根据梅逊公式计算系统的传递函数，首要问题是正确识别所有的回路并区分它们是否相互接触，正确识别所规定的输入与输出节点之间的所有前向通路及与其相接触的回路。现举例说明。
例2-9 一系统信号流图如图2-25所示，试求系统的传递函数。
图2-25 例2-9信号流图
解：由图2-25可知，此系统有两条前向通道n=2，其增益各为P1=abcd和P2=fd。有三个回路，即L1=be，L2=-abcdg，L3=-fdg，因此∑La=L1+L2+L3。上述三个回路中只有L1与L3互不接触，L2与L1及L3都接触，因此∑LbLc=L1L3。由此得系统的特征式为
由图2-25可知，与P1前向通道相接触的回路为L1、L2、L3，因此在Δ中除去L1、L2、L3得P1的特征余子式Δ1=1。又由图2-25可知，与P2前向通道相接触的回路为L2及L3，因此在Δ中除去L2、L3得P1的特征余子式Δ1=1-L1=1-be。由此得系统的传递函数为
例2-10 已知系统的信号流图如图2-26所示，求系统的传递函数
和
。(https://www.chuimin.cn)
图2-26 例2-10信号流图
解：（1）求传递函数
。由图2-26可知，从u到y有一条前向通道n=1，其增益为P1=ac。有三个回路，即L1=d，L2=cf，L3=e，因此∑La=L1+L2+L3。上述三个回路中只有L1与L3互不接触，L2与L1及L3都接触，因此∑LbLc=L1L3。由此得系统的特征式为
由图2-26可知，与P1前向通道相接触的回路为L1、L2、L3，因此在Δ中除去L1、L2、L3得P1的特征余子式Δ1=1。由此得系统的传递函数为
（2）求传递函数
。由图2-26可知，从n（扰动信号）到y有一条前向通道n=1，其增益为P1=b。有三个回路，即L1=d，L2=cf，L3=e，因此∑La=L1+L2+L3。上述三个回路中只有L1与L3互不接触，L2与L1及L3都接触，因此∑LbLc=L1L3。由此得系统的特征式为
由图2-26可知，与P1前向通道相接触的回路为L2和L3，因此在Δ中除去L2、L3得P1的特征余子式Δ1=1-d。由此得系统的传递函数为
应该指出的是，由于信号流图和结构图本质上都是用图线来描述系统各变量之间的关系及信号的传递过程，因此可以在结构图上直接使用梅逊公式，从而避免烦琐的结构图变换和简化过程。但是在使用时需要正确识别结构图中相对应的前向通道、回路、接触与不接触、增益等，不要发生遗漏。
例2-11 试求如图2-27所示系统的传递函数。
图2-27 例2-11系统的结构图
解：（1）求Δ。
此系统关键是回路数要判断准确，一共有5个回路，回路增益分别为L1=-G1G2H1、L2=-G2G3H2、L3=-G1G2G3、L4=-G1G4、L5=-G4H2，且各回路相互接触，故
（2）求Pk、Δk。
系统有两条前向通道n=2，其增益各为P1=G1G2G3和P2=G1G4，而且这两条前向通道与5个回路均相互接触，故Δ1=Δ2=1。
（3）求系统传递函数。
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2025-09-29
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