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2023-06-26
传递函数示例——典型环节
【摘要】：比例环节的表达式为比例环节的传递函数为在物理系统中无弹性变形的杠杆、非线性和时间常数可以忽略不计的电子放大器、传动链之速比以及测速发电机的电压和转速的关系，都可以认为是比例环节。图2-7微分环节如图2-7所示的电路的微分方程为消去中间变量得相应的传递函数为式中，Tc=RC。称具有这种传递函数形式的环节为比例微分环节。一阶惯性环节的微分方程为其传递函数可以写成如下表达式：式中，K——比例系数；T——时间常数。
一个物理系统是由许多元件组合而成的。虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种多样的，但若抛开其具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性，就可以划分成为数不多的几种典型环节。这些典型环节是：比例环节、微分环节、积分环节、比例微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节和延迟环节。应该指出，由于典型环节是按数学模型的共性划分的，它和具体元件不一定是一一对应的。换句话说，典型环节只代表一种特定的运动规律，不一定是一种具体的元件。
1.比例环节
比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。这就是说，它的输出量能够无失真、无滞后地按一定的比例复现输入量。比例环节的表达式为
比例环节的传递函数为
在物理系统中无弹性变形的杠杆、非线性和时间常数可以忽略不计的电子放大器、传动链之速比以及测速发电机的电压和转速的关系，都可以认为是比例环节。但是也应指出，完全理想的比例环节在实际上是不存在的。杠杆和传动链中总存在弹性变形，输入信号的频率改变时电子放大器的放大系数也会发生变化，测速发电机电压与转速之间的关系也不完全是线性关系。因此，把上述这些环节当作比例环节是一种理想化的方法。在很多情况下，这样做既不影响问题的性质，又能使分析过程简化。但一定要注意理想化的条件和适用范围，以免导致错误的结论。
2.微分环节
微分环节是自动控制系统中经常应用的环节。
（1）理想微分环节。
理想微分环节的特点是在暂态过程中，输出量为输入量的微分，即
式中，τ——时间常数。
其传递函数为
如图2-7（c）所示的测速发电机，当其输入量为转角φ，输出量为电枢电压uc时，具有微分环节的作用。设测速发电机角速度为ω，则
，而测速发电机的输出电压uc与其角速度成正比，因此得
由此，传递函数为
（2）实际微分环节。
这种理想的微分环节在实际中很难实现。如图2-7（a）所示的RC串联电路是实际中常用的微分环节的例子。
图2-7 微分环节
如图2-7（a）所示的电路的微分方程为
消去中间变量得
相应的传递函数为
式中，Tc=RC。
当RC≪1时，则其传递函数可以写成
（3）比例微分环节。
如图2-7（b）所示的RC电路也是微分环节。它与如图2-7（a）所示的微分电路稍有不同，其输入量为电压ur，输出量为回路电流i。由电路原理知，当输入电压ur发生变化时，有
因此，该电路的传递函数为
式中，T=RC——微分时间常数。称具有这种传递函数形式的环节为比例微分环节。
3.积分环节
积分环节的动态方程为
上式表明，积分环节的输出量与输入量的积分成正比。
对应的传递函数为
4.一阶惯性环节
自动控制系统中经常包含有这种环节，这种环节具有一个储能元件。一阶惯性环节的微分方程为
其传递函数可以写成如下表达式：
式中，K——比例系数；T——时间常数。
如图2-8所示的RC电路就是一阶惯性环节的例子。
图2-8 RC电路
对于如图2-8所示的RC电路，其输入电压ur（t）和输出电压uc（t）之间的关系为
对上式进行拉氏变换，可以求出传递函数为
5.二阶振荡环节
二阶振荡环节的微分方程为
其传递函数为
式中，T——时间常数，ζ——阻尼系数（阻尼比），ωn——无阻尼自然振荡频率。对于振荡环节恒有0≤ζ＜1。
6.延迟环节
延迟环节的特点是，其输出信号比输入信号滞后一定的时间。其数学表达式为
由拉氏变换的平移定理，可求得输出量在零初始条件下的拉氏变换为
Y(s)=U(s)e-τs
所以，延迟环节的传递函数为
在生产实际中，特别是在一些液压、气动或机械传动系统中，都可能遇到时间滞后现象。在计算机控制系统中，由于运算需要时间，也会出现时间延迟。
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