1976年，Thompson教授首次在主动悬挂系统的研究中采用全状态反馈最优控制理论。随后，D.Hrovat和P.Barak通过某种途径探究了主动悬挂系统的优越性，结果显示安装了半主动和主动悬挂系统的车辆，其各项性能指标提高了很多。1990年，尼桑公司在Infinite Q45车型上装置了液压主动悬挂。此外，所设计的控制系统相对复杂、费用高昂，对主动悬挂系统控制策略的研究与结构设计有待进一步努力探究。......
2023-06-24
系统动态微分方程模型的选取
【摘要】：例2-1 列写如图2-1所示RLC网络的微分方程。列出原始微分方程式。将式（2-2）两边求导，得代入式（2-1）整理为显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是如图2-1所示RLC无源网络的数学模型。因此，直流电动机的运动方程可以由以下三部分组成。现分别列写各元部件的微分方程。比较式（2-4）、（2-8）、和后发现，虽然它们所代表的系统的类别、结构完全不同，但表征其运动特征的微分方程式却是相似的。
常用的列写系统或环节的动态微分方程式的方法有两种：一种是机理分析法，即根据各环节所遵循的物理规律（如力学、电磁学、运动学、热学等）来列写；另一种方法是实验辨识法，即根据实验数据进行整理列写。在实际工作中，这两种方法是相辅相成的，由于机理分析法是基本的常用方法，本节着重讨论这种方法。
下面通过简单示例介绍机理分析法的一般步骤。
例2-1 列写如图2-1所示RLC网络的微分方程。
解：（1）明确输入、输出变量。
网络的输入量为电压ur（t），输出量为电压uc（t）。
（2）列出原始微分方程式。根据电路理论得
图2-1 RLC网络
而
式中，i（t）为网络电流，是除输入、输出量之外的中间变量。
（3）消去中间变量。
将式（2-2）两边求导，得
代入式（2-1）整理为
显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是如图2-1所示RLC无源网络的数学模型。
例2-2 试列写如图2-2所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压ua（t）（V）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量。图中Ra（Ω）、La（H）分别是电枢电路的电阻和电感，Mc（N·m）是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。
图2-2 电枢控制直流电动机原理图
解：电枢控制直流电动机是控制系统中常用的执行机构或控制对象，其工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压ua（t）在电枢回路中产生电枢电流ia（t），再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm（t），从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可以由以下三部分组成。
（1）电枢回路电压平衡方程：
式中，Ea（V）是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压ua（t）相反。
（2）电磁转矩方程。
式中，Cm（N·m/A）是电动机转矩系数，Mm（t）（N·m）是电枢电流产生的电磁转矩。（3）电动机轴上的转矩平衡方程。
式中，fm（N·m/rad/s）是电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数，Jm（kg·m·s2）是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（2-5）、式（2-6）和式（2-7）中消去中间变量ia（t）、Ea及Mm（t）便可得到以ωm（t）为输出量，以ua（t）为输入量的直流电动机微分方程为
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而式（2-8）可简化为
式中，Tm=RaJm/（Rafm+CmCe）是电动机机电时间常数（单位为秒，s），K1=Cm/（Rafm+CmCe），K2=Ra/（Rafm+CmCe）是电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小且忽略不计时，式（2-9）还可进一步简化为
这时，电动机的转速ωm（t）与电枢电压ua（t）成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。
例2-3 如图2-3所示为一具有质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统。试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x（t）的运动方程。
解：设质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x（t），dx（t）/dt，d2x（t）/dt2，由牛顿运动定律有
式中，F1（t）=f·dx（t）/dt是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大小与运动速度成正比，f为阻尼系数；F2（t）=Kx（t）是弹簧弹性力，其方向亦与运动方向相反，其大小与位移成正比，K为弹性系数。将F1（t）和F2（t）代入式（2-11）中，经整理后即得该系统的微分方程式为
图2-3 弹簧—质量—阻尼器机械位移系统
例2-4 试列写如图2-4所示速度控制系统的微分方程。
图2-4 速度控制系统
解：通过分析图2-4可知控制系统的被控对象是电动机（带负载），系统的输出量ω是转速，输入量是ug，控制系统由给定电位器、运算放大器Ⅰ（含比较作用）、运算放大器Ⅱ（含RC校正网络）、功率放大器、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程。
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此合成产生偏差电压并经放大，即
式中，K1=R2/R1是运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
式中，K2=R2/R1是运算放大器Ⅱ的比例系数，τ=RC是微分时间常数。
（3）功率放大器。本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间滞后，其输入输出方程为
式中，K3为比例系数。
（4）直流电动机。直接引用例2-2所求得的直流电动机的微分方程式（2-9）：
式中，Tm、Km、Kc及M′c均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。
（5）齿轮系。设齿轮系的速比为i，则电动机转速ωm经齿轮系减速后变为ω，故有
（6）测速发电机。测速发电机的输出电压uf与其转速ω成正比，即有
式中，Kt是测速发电机比例系数（V/rad/s）。
从上述各方程中消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方程：
式中，T′m=（iTm+K1K2K3KmKtτ）/（i+K1K2K3KmKt）
K′g=K1K2K3Kmτ/(i+K1K2K3KmKt)Kg=K1K2K3Km/(i+K1K2K3KmKt)
K′c=Kc/(i+K1K2K3KmKt)
综上所述，列写控制系统微分方程式的步骤可归纳如下：
（1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量；
（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；
（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。
比较式（2-4）、（2-8）、（2-12）和（2-19）后发现，虽然它们所代表的系统的类别、结构完全不同，但表征其运动特征的微分方程式却是相似的。从这里也可以看出，尽管环节（或系统）的物理性质不同，它们的数学模型却可以是相似的。这就是系统的相似性，利用这个性质，就可以用那些数学模型容易建立，参数调节方便的系统作为模型，代替实际系统从事实验研究。
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