用辅助平面法求解问题的方法和技巧

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：为了方便、准确地作图，可选正平面为辅助面。当内表面由立体上的孔洞等结构形成时，内表面的相贯线画法与外表面的相贯线画法相同，只是其可见性要根据具体情况正确处理。图5-11两圆柱面正交的三种形式例5-3用辅助平面法求半球与圆柱体的截交线，如图5-12所示。根据积聚性可知，相贯线的俯视图积聚在圆柱体的圆周上，这时相贯线的正面投影要选辅助平面来求。图5-13相贯线的简化画法作图时注意，圆弧应向大圆柱体投影内弯曲。

1.平面立体与曲面立体相交

平面立体与曲面立体相交时，相贯线是由平面立体的每个棱面与曲面立体表面相交产生的截交线的组合，即相贯线是由若干段平面曲线所围成的。

例5-1　求直立三棱柱与半球的相贯线，如图5-9（a）所示。

分析　参与相贯的两形体是直立三棱柱和半球。从俯视图上看，三棱柱的三个棱面分别与球面相交。任何一个平面与球相交，其截交线都是圆，所以它们的相贯线是由三段圆弧围成的封闭曲线。

直立三棱柱的左、右两个棱面为铅垂面，后棱面为正平面，相贯线的俯视图积聚在三个棱面的投影上，即积聚在三条直线上。左、右两个棱面截交线圆的正投影为椭圆，后棱面截交线圆的正投影反映实形。为了方便、准确地作图，可选正平面为辅助面。由于正平面与球的截交线为圆，与直立三棱柱的截交线为两条直素线，所以作图过程简便。

作图　（1）求相贯线上的特殊点。直线与立体表面相交的交点称为贯穿点。它是每段相贯线的起点或终点，也是两段相贯线之间的结合点。

①求直立三棱柱的三条棱线与球面的贯穿点。三个贯穿点的水平投影根据积聚性可知为1、2、3。过点1、2（或3）分别作正平面P1V、P2V，与半球的交线为半圆，在主视图上反映实形。根据“长对正”求出贯穿点的正面投影1'、2'、3'。

图5-9　直立三棱柱与半圆球相贯

②求相贯线上的最高点。从俯视图上看，6、7两点是离球面上最高点最近的两点，也是截交线上的最高点。过6、7两点作正平面P3V，它与球的交线为圆，再根据“长对正”求出6'、7'。

③求相贯线上位于半球正面轮廓线上的点。从俯视图上看，4、5两点是相贯线上位于半球正面轮廓线上的点的投影。

（2）求一系列中间点，如8、9两点，作图方法同上。

（3）根据可见性光滑连线。椭圆弧1'8'6'4'和1'9'7'5'在球的前半部，可见，用粗实线表示。椭圆弧4'2'、5'3'和圆弧2'3'都在球的后半部，不可见，用细虚线表示。

（4）补全轮廓线。从俯视图上看，球正面上的轮廓线应分别画到4'和5'处。三棱柱的三条棱线应分别画到1'、2'、3'处。其中被球遮挡部分为细虚线。

2.两回转体相交

两回转体相交时，它们的相贯线一般为封闭的空间曲线。曲线上的点都是两个回转面的共有点。

例5-2　求两正交圆柱体的相贯线，如图5-10所示。

分析　参与相贯的两形体都是圆柱体，它们的轴线垂直相交，由此得出相贯线前后、左右对称。根据相贯线是两圆柱共有线和圆柱面投影的积聚性可知，相贯线的俯视图、左视图都积聚在两圆柱体的圆周上，也就是相贯线的俯视图为一完整的圆，左视图为两形体公共的圆弧段（3"1"4"）。即已知相贯线的两个视图，可根据表面取点法求出相贯线的第三面投影。

作图　（1）求出相贯线上的特殊点。相贯线上最前、最后点的水平投影为3、4，最左、最右点（也为最高点）的水平投影为1、2，根据“宽相等”，它们的侧面投影分别为3"、4"、1"、2"，再根据“长对正、高平齐”求出正面投影3'、4'、1'、2'。

（2）求一系列中间点。在相贯线的俯视图上任取中间点5、6，根据“宽相等”可求出它们的侧面投影5"、6"，再根据“长对正、高平齐”求出正面投影5'、6'。

（3）根据可见性光滑连线。

（4）完成轮廓线的投影。两圆柱体相贯后，它们正面投影的轮廓线部分被相贯线取代，在投影图上应擦去。

图5-10　两正交圆柱相贯

两圆柱面正交在机器零件中较为常见，它有以下三种不同的形式：外表面与外表面相贯、内表面与外表面相贯和内表面与内表面相贯，如图5-11所示。当内表面由立体上的孔洞等结构形成时，内表面的相贯线画法与外表面的相贯线画法相同，只是其可见性要根据具体情况正确处理。

图5-11　两圆柱面正交的三种形式

例5-3　用辅助平面法求半球与圆柱体的截交线，如图5-12所示。

分析　参与相贯的两形体为半球和圆柱体。根据积聚性可知，相贯线的俯视图积聚在圆柱体的圆周上，这时相贯线的正面投影要选辅助平面来求。可选正平面为辅助面，正平面与球的截交线为圆，与圆柱体的截交线为直线。当然也可以选水平面或侧平面为辅助面。

作图　（1）求相贯线上的特殊点的投影。从俯视图上可知，相贯线上的最左点、最右点、最前点、最后点、最高点、最低点的水平投影依次为1、2、3、4、5、6。相贯线上位于半球正面轮廓线上的点的水平投影为7、8。分别过1、3、4、5、6、7点作水平面P1V、P2V、P3V、P4V、P5V、P6V，交圆柱体为两条直素线，交半球为圆，直线与圆的交点就是相贯线上的点，即得1'、2'、3'、4'、5'、10'、6'、9'、7'、8'。

（2）已求出的相贯线上的点很多，所以可不再求其他的中间点。

图5-12　圆柱与半圆球相贯

（3）根据可见性光滑连线。相贯线的1'6'3'9'2'段在圆柱体的前半部，可见，而1'7'10'4'5'8'2'段不可见。

（4）补全轮廓线的投影。半球的正面轮廓线应画到7'、8'处，其中部分被圆柱体遮挡，为细虚线。圆柱体的轮廓线应画到1'、2'处。

3.相贯线的简化画法

两正交圆柱体的相贯线在机器零件上经常见到，它是加工过程中自然形成的。因此，当对相贯线形状的准确度要求不高时，该相贯线可用圆弧代替。其简化的画法有以下两种。

（1）如图5-13（a）所示，先求出相贯线上的三个特殊点1'、2'、3'，过此三点作圆弧代替相贯线。

（2）如图5-13（b）所示，以大圆柱体的半径为半径，过1'、2'两个特殊点作圆弧代替相贯线。

图5-13　相贯线的简化画法

作图时注意，圆弧应向大圆柱体投影内弯曲。