圆锥体截交线优化解析

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：图4-32正垂面与横放圆锥体的截交线分析如图4-32所示，圆锥的轴线为侧垂线，β＞α，其截交线是一个椭圆，它的正面投影积聚成一直线，而其水平投影和侧面投影则仍为椭圆。根据圆锥的投影特性可知：截交线椭圆的侧面投影全部可见，截平面与前、后素线的交点A、B为截交线水平投影可见与不可见部分的分界点，位于下半圆锥面上的截交线不可见。例4-14求铅垂面PH与圆锥体的截交线。

平面与圆锥体相交时，根据截平面相对圆锥轴线位置的不同，其截交线有五种——两相交直线、圆、椭圆、抛物线及双曲线，如表4-2所示。表中α为圆锥的半锥角，β为截平面与锥轴的夹角。

表4-2　圆锥体的截交线

续表

例4-13　求正垂面P与横放圆锥体的截交线（见图4-32）。

图4-32　正垂面与横放圆锥体的截交线

分析　如图4-32所示，圆锥的轴线为侧垂线，β＞α，其截交线是一个椭圆，它的正面投影积聚成一直线，而其水平投影和侧面投影则仍为椭圆。由解析几何定理可知，在与圆锥轴线垂直的那个投影面上，截交线的投影总是椭圆，而在与轴线平行的投影面上（此例的俯视图上），一般情况下也是椭圆，仅当tanβ=1/cosα时，截交线椭圆的水平投影才为圆。根据圆锥的投影特性可知：截交线椭圆的侧面投影全部可见，截平面与前、后素线的交点A、B为截交线水平投影可见与不可见部分的分界点，位于下半圆锥面上的截交线不可见。

作图　（1）求特殊点，即圆锥的前、后、左、右轮廓素线与平面P的交点A、B、E、F，以及椭圆长、短轴的端点C、D、E、F；由于截交线椭圆在空间中，其长、短轴互相垂直平分，且短轴为正垂线，所以两投影中长、短轴仍然互相垂直平分；

（2）用纬圆法求出适当数量的一般点；

（3）将所求各点依次光滑连接起来，并判断可见性，完成全图，如图4-32（b）所示。

例4-14　求铅垂面PH与圆锥体的截交线（见图4-33）。

图4-33　铅垂面与圆锥体的截交线

分析　如图4-33所示圆锥体的轴线为铅垂线，截平面PH与圆锥轴线平行，所以截交线是双曲线，它的水平投影积聚成一直线，而其正面投影和侧面投影为双曲线的类似形。另根据圆锥的投影特性可知，截交线（位于前半圆锥）的正面投影全部可见；截平面PH与最前素线的交点D为截交线侧面投影可见与不可见部分的分界点，位于右半圆锥面上的截交线不可见。(https://www.chuimin.cn)

作图　（1）求特殊点，即截平面PH与底平面的交点A、D，与圆锥的最前轮廓素线的交点D，以及最高点C，其中最高点C的求法是：作圆与截平面PH面相切，切点即为最高点C的水平投影c，据c求出c'、c"；

（2）采用纬圆法求一般点B、E；

（3）将所求各点依次光滑连接起来，并判断可见性，完成全图，如图4-33（b）所示。

例4-15　已知被截切圆锥体的主视图（见图4-34（a）），试完成俯、左视图。

分析　如图4-34所示，圆锥体的切口由平行于轴线的侧平面P、垂直于轴线的水平面Q、过锥顶的正垂面R和与轴线斜交的正垂面S组成，截交线分别为双曲线、圆、两条相交直素线和椭圆。

作图　（1）画出完整圆锥的俯、左视图，并求P面截圆锥体的截交线——双曲线，作图方法参考例4-14，如图4-34（b）所示；

（2）求Q面截圆锥的截交线——水平纬圆，求R面截圆锥体的截交线——两条相交直线，同时求P、Q、R两两的交线，并以交线为界，保留所需的部分，如图4-34（c）所示；

（3）求S面截圆锥体的截交线——椭圆，求S、R平面的交线，并以交线为界，保留所需的部分，作图方法参考例4-13，如图4-34（d）所示；

（4）对圆锥的轮廓线及底面进行处理，完成全图，如图4-34（e）所示。

图4-34　被截切圆锥体