前面已经讲过，所有过球心的直线均可视为球面的轴线，因此平面与球相交时，不论平面与球的相对位置如何，其截交线总是圆。两个侧平面P与半球的截交线，其侧面投影是半圆的一部分，水平投影积聚成直线；水平面Q截球体，其水平投影是圆的一部分，侧面投影积聚成直线；两平面P与Q的交线均为正垂线。表4-3球体的截交线图4-35开槽半球例4-17已知带切口球体的主、俯视图，完成其左视图。......
2023-06-28
平面立体截交线探究
【摘要】：截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面。求平面立体的截交线时，首先应确定平面立体的原始形状，进而分析其与投影面的相对位置；再分析截平面相对投影面和平面立体的位置，明确截交线的形状和投影特性，如积聚性、类似性等。分析截平面P与正四棱锥的四个侧棱面均相交，所以截交线为四边形。
基本体若被一个或数个平面截切，则形成不完整的基本体。截切立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面。由于平面立体的表面是由若干平面围成的，因此，截平面与平面立体表面的截交线必定是一个封闭多边形。这个多边形的各边就是截平面与平面立体各表面的交线，而多边形的各顶点就是截平面与平面立体各棱线的交点。因此，求平面立体的截交线有以下两种方法：
（1）求各棱线与截平面的交点——棱线法；
（2）求各棱面与截平面的交线——棱面法。
求平面立体的截交线时，首先应确定平面立体的原始形状，进而分析其与投影面的相对位置；再分析截平面相对投影面和平面立体的位置，明确截交线的形状和投影特性，如积聚性、类似性等。
例4-5 试求正四棱锥被一正垂面P截切后的三视图（见图4-11（a））。
分析 截平面P与正四棱锥的四个侧棱面均相交，所以截交线为四边形。另外，截平面为正垂面，所以截交线的正面投影积聚在PV上，而水平投影和侧面投影则具有类似性。
作图 （1）画出完整正四棱锥的三视图（见图4-11（b））；
（2）采用棱线法分别求截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的三面投影，这些交点就是截交线的端点（见图4-11（c））；
（3）将各端点的同面投影依次连接起来，即得截交线的投影；
（4）擦去被截平面截去的部分，保留未截的棱线，完成全图（见图4-11（d））。
有时需要求截断面的实形，可以采用换面法求解。
若平面立体被数个平面截切，应首先假想将各个截平面扩展为全截平面立体，并求出其截交线，然后再求截平面两两的交线，并以交线为界保留所需部分的截交线，完成全图。这种作图方法概括为“先求全截，后取局部”的方法。
图4-11 正四棱锥切口
例4-6 已知四棱台的切口和开槽如图4-12（a）所示，试完成其俯视图，并求作左视图。
分析 四棱台的切口是由正垂面、水平面和侧平面组成的，其截交线为毗连的三角形、六边形和梯形；四棱台的开槽则由一个水平面和两个侧平面组成，其截交线分别为一个六边形和两个梯形。由于四棱台的四个棱面均为一般位置平面，无积聚性的投影，所以截交线的水平投影和侧面投影均需通过作图求出。
图4-12 四棱台切口
作图 （1）完成完整四棱台的俯视图和左视图，再求开槽（一个水平面和两个侧平面）的水平投影和侧面投影，如图4-12（b）所示。如假设将水平面扩展全截四棱台，与右侧棱线相交于点Ⅰ，过点1作与底面各边对应平行的四边形，并取开槽所产生的交线部分。
（2）求正垂面全截四棱台的截交线，具体作图方法参考例4-5（见图4-12（c））。
（3）求水平面及侧平面切口的截交线，作图方法同（1）（见图4-12（d））。
（4）求正垂面、水平面及侧平面两两的交线，并以交线为界，保留所需部分，完成全图（见图4-12（d））。
例4-7 已知带方孔的六棱柱的切口如图4-13（a）所示，试完成其左视图。
分析 带方孔六棱柱的切口由PV、QV两平面组成。作图时，可以假想将PV、QV两平面扩大，各自全截带方孔六棱柱，分别求出PV、QV两平面与六棱柱外表面的截交线，以及PV、QV两平面与方孔内表面的截交线；然后以PV、QV两平面的交线为界，保留所需部分的截交线。这里需注意以下两点：
（1）外表面（六棱柱）与内表面（方孔）同时产生了截交线；
（2）QV平面与方孔右侧两个棱面相交产生两条铅垂线，其间宽度由水平投影中的Y1量取，如图4-13（c）所示。
图4-13 六棱柱切口
作图 （1）画出完整带方孔六棱柱的左视图，用棱线法求出PV面全截带方孔六棱柱的交线（见图4-13（b））；
（2）用棱面法求出QV平面全截带方孔六棱柱的交线（见图4-13（c））；
（3）求PV、QV两平面的交线，并以交线为界，保留所需的部分，擦去多余的图线，完成全图（见图4-13（d））。
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