正多边形底的棱锥及其投影分析

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：当底面为正多边形时，称为正棱锥。棱锥的棱线相交于一点，称为锥顶。图4-5棱锥的形成2.投影分析及画法例4-3根据正三棱锥S-ABC的轴测图，画出其三投影图。

1.棱锥的形成

封闭平面多边形沿某一不与其平行的直线移动，同时各边按相同比例线性缩小并汇聚成一点就形成了棱锥，这个封闭多边形称为棱锥的特征平面，又称底面；其余各面称为棱面。若移动方向与底面垂直，就形成直棱锥（见图4-5（a））；否则，形成斜棱锥（见图4-5（b））。当底面为正多边形时，称为正棱锥。棱锥的棱线相交于一点，称为锥顶。

图4-5　棱锥的形成

2.投影分析及画法

例4-3　根据正三棱锥S-ABC的轴测图（见图4-6（a）），画出其三投影图。分析　图4-6（a）所示的是一正三棱锥，将其放在三投影面体系中，使其底面△ABC为水平面，棱面△SAC为侧垂面，棱线SB为侧平线，因此，底面△ABC的水平投影反映实形，其正面和侧面投影均积聚成一直线。棱面△SAC的侧面投影积聚成一直线，其正面和水平投影均为三角形棱面的类似形。棱面△SAB、△SBC的三投影均为棱面的类似三角形，因为它们是一般位置平面。

作图　根据以上分析，画图时，先画出底面△ABC的三个投影，再作出锥顶S的三个投影，如图4-6（b）所示；然后将锥顶S和底面△ABC的顶点A、B、C的同面投影分别连线，最后判断可见性，即得正三棱锥的投影图，如图4-6（b）所示。

图4-6　正三棱锥的投影图

3.可见性判断

例4-3中：底面△ABC的正面投影积聚为直线，棱面△SAB、△SBC的正面投影可见，棱面△SAC的正面投影不可见；底面△ABC、棱面△SAC的侧面投影积聚为直线，棱面△SAB的侧面投影可见，棱面△SBC的侧面投影不可见；底面△ABC的水平投影不可见，三棱面△SAB、△SBC、△SAC的水平投影均可见。

4.棱锥表面上的点

例4-4　已知正三棱锥S-ABC表面上的一点K的正面投影k'（见图4-7），求点K的其余两投影k、k"。

分析　根据点K的正面投影k'的位置及k'可见，可知点K在△SAB内。△SAB为一般位置平面，必须用平面内取点的方法求解。

作图　本题有两种解法。

方法一：在△SAB内，连接锥顶S与点K，延长并交AB于点Ⅰ。具体作图方法是：连s'、k'并延长，交a'b'于点1'，再在ab上求出点1，在a"b"上求出点1"，分别连接点s、1与点s"、1"，则k必在s1上，k"必在s"1"上。当然，也可以不作s"1"，而由k'和k直接求出k"。由两种方法所得出的结果是一致的（见图4-7（a））。

图4-7　正三棱锥表面上的点

方法二：在△SAB内，过点K作一水平线ⅡⅢ，即过k'作该直线的正面投影2'3'∥a'b'，再求出该直线的水平投影23∥ab，则点K的水平投影k必在23上，然后由k'和k求出k"（见图4-7（b））。

正多边形底的棱锥及其投影分析

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