求解平面直线交点及可见性：例3-36

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：问题的关键是如何求出交线的水平投影。因为交线KL是两平面的共有线，当然也是△ABC平面上的一条直线段，所以问题转化为在平面上取直线的问题。图3-69求直线与平面的交点并判断可见性例3-35求△ABC平面和△DEF平面的交线，并判断投影的可见性。图3-70求两平面的交线并判断可见性图3-71三面共点原理图3-72求平面与平面的交线并判断可见性例3-36求△ABC与△DEF的交线，用上述三种方法解本题。

直线与平面、平面与平面在空间若不平行，就必然相交。直线与平面相交时要求出交点，平面与平面相交时要求出交线。两平面的交线即两平面的共有点所组成的直线段，因此，求两平面的交线，实质上也是求一平面内两条直线对另一平面的交点的过程。

1.利用积聚性求交点或交线

当相交的两空间几何元素有一个与投影面垂直时，利用其投影积聚性作图，可以简化求交点的过程。

图3-66　判断两已知平面是否平行

例3-32　求铅垂线AB与△DEF的交点（见图3-67）。

作图　（1）利用面内求点的方法可求出交点的正面投影k'；

（2）利用AB与DE上的一对重影点的水平投影的Y坐标的大小判断可见性。

图3-67　利用积聚性求线与面的交线

图3-68　求两平面的交线并判断可见性

例3-33　求△ABC平面与正垂面EFGH的交线，并判断可见性（见图3-68）。

分析　由于四边形EFGH为正垂面，因此，两平面交线的正面投影一定在EFGH的积聚性投影上，并且是两个平面的正面投影的公共部分，即图中k'l'段。问题的关键是如何求出交线的水平投影。

因为交线KL是两平面的共有线，当然也是△ABC平面上的一条直线段，所以问题转化为在平面上取直线的问题。这样问题就迎刃而解了。

作图　（1）延长l'k'，与a'b'交于m'；

（2）求出点M的水平投影m，求出点L的水平投影l；

（3）连接点l、m，得直线lm，与ef交于点k，线段kl即为所求交线；

（4）利用重影点Ⅰ和Ⅱ判断可见性，如图3-68所示。

2.利用辅助平面求交点和交线

当相交的直线与平面都处于一般位置时，其投影都没有积聚性，求交点时，需要借助于辅助平面，一般作图步骤如下：

（1）作包含已知直线的投影面垂直面为辅助平面；

（2）求辅助平面与已知平面的交线MN；

（3）交线MN与已知直线的交点即为所求交点。

例3-34　求直线AB与△CDE的交点（见图3-69）。

作图　（1）将a'b'视为辅助平面（正垂面）的积聚性投影，即得辅助平面与已知平面交线的正面投影m'n'；

（2）求出辅助平面与已知平面交线的水平投影mn；

（3）mn与ab的交点k即为所求交点的水平投影；

（4）利用重影点判断可见性，将不可见线段画成细虚线。

图3-69　求直线与平面的交点并判断可见性

例3-35　求△ABC平面和△DEF平面的交线，并判断投影的可见性（见图3-70）。

分析　由已知条件可知△DEF为正垂面，所以两平面交线的正面投影一定在△DEF的积聚性投影上，亦即在△ABC平面上的直线段HM上。因此，问题转化为求直线段HM的水平投影。

作图　（1）用面上取线的作图方法由h'm'求出HM的水平投影hm。

（2）取hm线段上属于两个三角形平面的公共部分hk，因为两平面的交线一定是两个平面的共有线段。（这一点对初学者来说容易被忽略，特提请读者注意仔细思考采用这一作图步骤的理由是什么。）

（3）求出点K的正面投影点k'，线段HK即为所求交线。

（4）利用水平投影面上的一对重影点（例如Ⅰ、Ⅱ两点）的Z坐标的大小判断水平投影的可见性。

如果两个一般位置平面相交，则求其交线上的共有点的方法通常有三种。第一种方法与上述求一般位置直线与一般位置平面交点的方法相似，即先求出交线上的两个点，则整条交线随之求出。第二种方法基于三面共点的原理：一般作投影面的平行面为辅助平面，求出辅助平面分别与相交两平面的交线，两条交线的交点即三面共有点，也必然是相交两平面的共有点，即两平面交线上的点，如图3-71所示。如此作两次辅助平面求出交线上的两个共有点，则交线随之而定。第三种方法是投影变换的方法，设想将相交两平面中的一个变换为新投影面的垂直面，则可利用积聚性求出交线，然后将交线的投影返回原投影面体系即可。

图3-70　求两平面的交线并判断可见性

图3-71　三面共点原理

图3-72　求平面与平面的交线并判断可见性（辅助平面法）

例3-36　求△ABC与△DEF的交线，用上述三种方法解本题。

作图　方法一：辅助平面法，如图3-72所示。

方法二：三面共点法，如图3-73所示。

方法三：换面法，如图3-74所示。

图3-73　求平面与平面的交线并判断可见性（三面共点法）

图3-74　求平面与平面的交线并判断可见性（换面法）