从动件上升的最大位移用h表示，称为行程。凸轮继续转动，由于与从动件尖顶接触的凸轮轮廓向径逐渐变小，从动件返回，这一过程称为回程，对应的凸轮转角δ′0称为回程运动角。图1-28 凸轮机构的工作过程a）凸轮机构 b）位移线图2.从动件常用运动规律等速运动规律 当凸轮以等角速度ω转动时，从动件在推程或回程中的速度保持不变，称为等速运动。因此，等速运动规律只适用于低速、轻载的场合。......
2025-09-29
在重力场中的运动规律
【摘要】：重力场中的火箭运动存在重力损失mgsinθ和空气阻力损失D。因而在重力场中火箭的运动方程式为式中，m为火箭质量。式可以用与式和式相对应的无量纲式表示。式与无重力场式相比，可以看出仅增加了右边最后项。因此，当高度为h=100km时，把这些已知的数据代入式中，可以得出重力加速度为g≈9.48m/s2，这是地球海平面上的97%左右。即，从地面到100km高度的重力变化仅减小3%，因此在推进剂燃烧期间将重力加速度可以看成g常数也无妨。
重力场中的火箭运动存在重力损失mgsinθ和空气阻力损失D。
1.火箭的运动方程式
为了简单推导出火箭的运动方程式，首先忽略空气的阻力，并假设为火箭发射后立即垂直方向上升，sinθ=1，重力加速度为常数。因而在重力场中火箭的运动方程式（13.32）为
式中，m为火箭质量。在推力F=kc中，把推进剂消耗率k（kg/s）引用火箭的质量损失率，即k=-dm/dt，上式改写为
为了对上式进行积分，转换为如下形态：
把上式以式（13.34b）相同的条件进行积分，并引用前述符号进行转换，
可得
或
式（13.42b）就是火箭在重力场中的运动方程式。此方程式与在无重力场中的火箭运动方程式（13.35b）不同的是，仅多出了因数e-gt/c。此因数的值始终小于1，因此如果假设通过燃烧的推进剂质量减小量κt相同，那么对于火箭的速度V，时间t越短，即因数e-gt/c的值越接近1就会越大。这表示燃料消耗率κ越大和燃烧时间t越短越好。极限状态下最好是所有推进剂瞬间燃烧结束，此时的质量比μ与速度比ν之间的关系可以利用重力加速度g=0（无重力场状态）的条件得出，如图13-15所示。
但是，在实际燃烧过程中燃烧速度的大小具有局限性，并且还存在到目前为止还没有考虑过的火箭空气阻力，因此火箭在发射后并不是立即加速到最高速度，而是在空气密度较大的低空缓慢增加速度，到达空气密度相对较小的高空后再加速到最高速度飞行。
式（13.42a）可以用与式（13.38）和式（13.40b）相对应的无量纲式表示。
式（13.44）与无重力场式（13.40a）相比，可以看出仅增加了右边最后项。上述两个式仅在推进剂全部燃烧时成立，表示在推进剂比ζ（=mp/m0）不变的条件下，燃烧结束时的最终速度与高度之间的关系。因燃烧结束后没有推进力，火箭仅按照自由落体运动定律运动。
现在计算一下重力场中火箭的最终速度Vf。对此，把式（13.41）进行积分到推进剂完全燃烧的时间tb为止，因在时间t=0时为m=m0、V=0，在时间tb时为m=mf、V=Vf，因此可以用下式进行计算得出。
Vf=clnR-gtb （13.45）
式中，R（=1/MR）为以m0/mf定义的质量比。可以看出火箭的速度Vf随燃烧时间tb的缩短而增加。
燃烧结束时的高度hb可以用下式进行计算得出。(https://www.chuimin.cn)
火箭的最大上升高度hmax可以利用在燃烧结束时的动能与势能相等的关系进行计算。
在最终速度Vf中代入式（13.45），hb中代入式（13.46），可得
当质量比R保持不变时，燃烧结束时的速度Vf越大或燃烧时间tb越短，火箭的最大上升高度hmax就会越高。另外，如要增加燃烧速度，质量比R要非常大，质量比大表示火箭的最终质量mf小，这表示火箭的运输能力（有效载荷质量）降低。因此，质量比的大小也有局限性。
2.重力的影响
根据万有引力定律，行星吸引火箭（航天器）的力量F与两个物质的质量M、m的之积成正比，与两个物质之间的距离成反比，其计算式为
式中，比例常数G为重力常数6.67259×10-11N·m2/kg2。引用力F=ma和式（13.48），在质量为M、半径为R的行星表面重力加速度g0，以及在高度为h（或r=R+h）的高度上重力加速度的计算式为
根据式（13.49），重力加速度g与行星表面上的重力加速度g0之间具有如下的关系：
式中，g0为地球表面的重力加速度9.81m/s；R为地球半径6370km。因此，当高度为h=100km时，把这些已知的数据代入式（13.50）中，可以得出重力加速度为g≈9.48m/s2，这是地球海平面上的97%左右。即，从地面到100km高度的重力变化仅减小3%，因此在推进剂燃烧期间将重力加速度可以看成g
常数也无妨。
实际火箭的设计要考虑空气阻力，在密度较低的高度以不太大的适当速度飞行，在空气密度相当小，即空气阻力很小的高高空中，使飞行速度达到最高。
3.空气阻力损失
火箭的空气阻力可以表示为
式中，CD为阻力系数；ρ为空气密度；V为火箭速度；A为火箭前方受风端面积。阻力系数与火箭的形状、速度（马赫数）、火箭的飞行方向角度等有关。尤其是，空气密度随火箭的飞行，即随高度的升高发生很大的变化。在32km左右的高度上空气密度约比海平面减小1%左右。
空气阻力D与速度平方V2成正比，因此火箭速度增加时，阻力损失会大幅度增大。虽然减小速度会大幅度降低阻力损失，但是如果减小发射速度，则会增加发射时间，导致重力损失增大。
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