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2023-08-23
音速与面积的关系：探究声音传播的规律
【摘要】：设定压力为密度和熵的函数p=p（ρ，s），对此进行微分可得对于上式，如果引用等熵流动过程，因ds=0，因此第2项为0，对于右边第1项因从式中得知s=a2，因此可以改写为dp=a2dρ 从式可得在上式的dp中代入式，可得或在式中代入上述中的dp/ρ，可得式与式是具有重要意义的方程式，表示在亚音速和超音速流动中端面积、速度、压力之间的关系完全不同的状态。式的左边端面积的变化dA为负，因此右边也应为负。
非压缩性流体流动时，当端面积减小时，流体的速度增加，当端面积增大时，流体的速度减小。压缩性流体流动时，这样的关系始终不会成立的。
如图13-12所示，对不等端面积管内流动的一维正常状态等熵过程进行分析。在正常状态下，质量流量率
保持不变，连续方程式如下。
图13-12 管内流动
对上式进行微分，并两边用ρAV相除，得
把对管内流动的正常状态能量守恒方程以微分形态表示为
dh+VdV=0
对第2Tds方程式如果引用等熵过程，因ds=0，可以表示为
dh=vdp
把上述2式合并，有
在式（13.23）中引用式（13.24），可得
在等熵过程中，理想气体状态方程“p（1/ρ）κ=C”可以改写为
lnp+κln（1/ρ）=lnC
把上式进行微分可得
在式（13.25）中如果引用上式和音速
、马赫数M（=V/a），可得
式（13.26）是在端面积不等的流体流动中，表示端面积A、音速M、压力p之间关系的很重要的关系式。
下面推导出类似于式（13.26）的关系式。设定压力为密度和熵的函数p=p（ρ，s），对此进行微分可得
对于上式，如果引用等熵流动过程，因ds=0，因此第2项为0，对于右边第1项因从式（13.5）中得知（dp/dρ）s=a2，因此可以改写为
dp=a2dρ （13.27）
从式（13.24）可得
在上式的dp中代入式（13.27），可得
或
在式（13.23）中代入上述中的dp/ρ，可得
式（13.28）与式（13.26）是具有重要意义的方程式，表示在亚音速和超音速流动中端面积、速度、压力之间的关系完全不同的状态。
1.亚音速流动
喷管是降低流体压力（dp<0）并增大速度（dV>0）的装置。首先对亚音速M<1喷管的端面积如何发生变化进行分析。因为喷管的dV为正（+），在M<C的亚音速流动中，式（13.28）右边括弧内的项为负（-），右边为负。因此，左边也应为负，故dA<0，即A2<A1。这表示在亚音速流动条件下逐渐增速的喷管形状为，端面积向着气体流动方向逐渐减小的收敛型喷管。把此关系代入式（13.28）中，分析一下压力的变化状态。式（13.28）的左边端面积的变化dA为负，因此右边也应为负。因此，在亚音速M<1条件下的右边括弧项为正，通过喷管的压力变化dp为负，即dp<0。
2.超音速流动
如果是M>1的超音速流动，在式（13.28）的右边项中，因dV和括弧项均为正，故右边为正。因此，左边也应为正，即dA为正，即A2>A1。这表示在超音速流动条件下逐渐增速的喷管形状为，端面积向着气体流动方向逐渐增大的扩散型喷管。把此关系代入式（13.26）中，左边端面积的变化dA为正，因此右边也应为正。因此，在超音速M>1条件下的右边括弧项为负，通过喷管的压力变化dp为负。即，可以看出喷管的作用是通过dp<0获得dV>0。因此，如果要把流体从亚音速增速到超音速，在亚音速领域需要收敛型喷管，在超音速领域需要扩散型喷管，因此采用拉瓦尔喷管。
马赫数M=1时，从式（13.26）和式（13.28）中可知dA=0，即在没有端面积变化的位置上形成，把此部位称为喷管喉。
3.喷管和扩散管
喷管根据喷管出口速度的马赫数分为亚音速、音速、超音速喷管（或拉瓦尔喷管），见表13-5。把所有高温、高压气体膨胀（或减小压力）使用在获得高速上。表中下标0、t、e、a、cr分别表示总（入口）参数、喷管喉、出口、周围、临界状态。如，at为喷管喉的音速，Mt和Me为喷管喉和出口的马赫数。
表13-5 喷管的分类
收敛喷管使用在喷管出口压力Pe大于临界压力Pcr的状态，此时出口速度为音速以下，因此还称为亚音速喷管。音速喷管是外部压力（或背压）Pa等于或小于临界压力Pcr时，出口压力Pe等于临界压力Pcr，流出速度等于音速的喷管。
超音速喷管的形状是收敛-扩散型。收敛喷管即使外部压力充分低，喷管出口压力也不会下降到临界压力以下，最大出口速度只能达到音速。如果外部压力Pa充分低，在喷管喉部压力Pt会下降到临界压力Pcr，由此速度达到音速，并在扩散段从临界压力Pcr膨胀到外部压力Pa，因此速度可以获得超音速。火箭推进发动机使用收敛-扩散喷管，以获得马赫数为8以上的排气速度。
扩散管是减小流体速度（dV<0）、增加压力（dp>0）的装置，具有与喷管相反的功能。扩散管使用在压缩器或泵叶片上，喷管所有参数会取相反值，见表13-5。如，通过超音速降低到亚音速以增大压力的收敛-扩散型扩散管，在收敛段把速度从超音速下降到音速，并在扩散段从音速下降到亚音速，以增大压力。
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