马赫数关系式：原理与计算

2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：压缩性流体的流动中，马赫数决定流体的特性。现在用质量热容比κ和马赫数M表示静态参数和总参数之间的关系。③在喷管或扩散管中的流动，因没有功和热量的传递，能量方程式仅存在焓和动能，其和值始终为常数，因此总温和总焓保持不变，即在等熵流动中T01=T02、h01=h02。④但是，在喷管或扩散管中的流动，即使假设为绝热过程，因存在摩擦损失，总压不会保持不变，即p01≠p02。

压缩性流体的流动中，马赫数决定流体的特性。现在用质量热容比κ和马赫数M表示静态参数（T，p，ρ）和总参数（T₀，p₀，ρ₀）之间的关系。

总参数是在对压缩性流动进行说明时表示气体状态的参数，具有如下特征：

①总参数是流体以等熵过程减速到速度为0时的状态参数，是如同静态参数决定流体状态的热力学状态参数。

②正常状态能量方程式是可以把焓和动能之和用总参数进行表示，因此方程式能比想象的更为简单。

③在喷管或扩散管中的流动，因没有功和热量的传递，能量方程式仅存在焓和动能，其和值始终为常数，因此总温和总焓保持不变，即在等熵流动中T₀₁=T₀₂、h₀₁=h₀₂。

④但是，在喷管或扩散管中的流动，即使假设为绝热过程，因存在摩擦损失，总压不会保持不变，即p₀₁≠p₀₂。

1.马赫数与状态参数比

总参数（T₀，p₀，ρ₀）与静态参数（T，p，ρ）之间的关系如同在“12.2.1节中说明的，具有如下关系：

现在用质量热容比κ和马赫数M表示一下上述关系式。在式（13.8）右边第二项V²/（2c₀T）中引用质量定压热容c₀=κR/（κ-1）、音速a²=κRT和马赫数M（=V/a），可以获得

把上式代入式（13.8）中，可以获得温度关系式为

或

利用类似的方法，可以推导出压力和密度相关式：

把式（13.11）～式（13.13）称为马赫数关系式，是表示燃烧室的总参数（T₀，p₀，ρ₀）、喷管内任意端面上的静态参数（T，p，ρ）及其位置上马赫数M之间关系的很重要的方程式。对于在喷管出口速度、喷管流通流量式中出现的压力比p/p₀，将式（13.12）代入，可以转换为用马赫数表达的方程式。现在用质量热容比κ和马赫数M表示一下任意的压力比p₂/p₁。对于压力p₁可以把式（13.12）用下式表示为

以此，可以获得如下的压力比p₂/p₁关系式。

如果是等熵（可逆绝热）流动，如同总焓，总压也保持不变。但如果是非可逆绝热过程，虽然总焓和总温保持不变，但总压不会保持不变。

在等熵流动中，因总焓保持不变，T₀₁=T₀₂，因此利用式（13.11a）可以获得

在非可逆绝热过程中，在式（13.14）中代入式（13.12）和式（13.15），可以将总压比表示为

2.马赫数M=1时的状态参数比

在马赫数为1的位置（喷管喉）的流体的状态参数称为临界状态参数。把临界状态参数与总参数之比称为临界比，如图13-11所示显示了在喷管喉部的马赫数为1时的喷管喉的状态参数。在上述式（13.11）～式（13.13）中代入马赫数M=1，可以获得如下临界比公式：

图13-11 喷管喉的状态参数

多种质量热容比κ下的临界比见表13-3。

表13-3 等熵流动中多种质量热容比κ下的临界比

在拉瓦尔喷管中，马赫数为1是在喷管喉中发生的。现在用质量热容比κ和马赫数M表示一下M=1的喷管喉状态参数（临界状态参数、以上标*表示）与任意端面上的状态参数之间的关系。

在等熵流动中，因总焓保持不变T₀^*=T₀，根据式（13.11a）可以得到

因此，温度比为

根据理想气体的等熵关系式‘T（1/ρ）^κ-1=C’，密度比为

面积比（马赫数为M的部位端面积A与喷管喉部面积A^*之比）为

这些公式在亚音速、跨音速及超音速的所有速度范围有效。

3.质量热容比

不仅喷管的流动特性（速度、流量、流量变量等），推力也受到质量热容比_κ的影响。理想气体和实际气体（燃烧气体）的质量热容比均为温度的函数。理想气体的质量热容比随温度的上升其变化很缓慢，但实际燃烧气体因在高温条件下发生热裂解，其温度和平均分子量小，以此随温度的改变其质量热容比会发生很大的变化，因此对喷管流动特性和推力有很大的影响。

液体的碳氢化合物燃料与氧气如果以理论混合比进行燃烧，反应生成物为二氧化碳（CO₂）和水蒸气（H₂O），火焰温度约为3300K。通常，热裂解在低温条件下发生的概率很低，但温度处于1500K以上的高温时，就会很容易发生。以此，像火箭燃烧室处于高温状态下时，一半以上的二氧化碳和水被热裂解，氢气、氧气、一氧化碳、氢氧根离子和氢原子会存在于燃烧气体中，因此平均分子量会变小。喷管燃烧室内燃烧气体的温度达到2000K以上时会发生热裂解，以此燃烧气体的平均分子量会变小，因而喷管喉部的端面积比理想气体时的状态设计为更大。见表13-4所示显示了各种气体质量热容比κ随温度的变化。

表13-4 各种气体质量热容比κ随温度的变化

马赫数关系式：原理与计算

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