循环码编码的三个步骤

2023-06-27 理论教育版权反馈

【摘要】：对（n，k）循环码，通过对进行因式分解选择出生成多项式g，就可由信息码编出相应的循环码字。x n-km的前一部分为连续k位信息码，后一部分为r=n-k位的 “0”，r正好是监督码的位数。这种编码方式，具体可分为三个步骤。如对（7，3）循环码选择生成多项式为式，即g=x 4+x 3+x 2+1，并设已知信息码为111。即信息码111 左移4 位成为1110000。把此码多项式的形式用其系数代替，写成码字的形式为余式的码字为0100。对于本例系统码为1110000+0100=1110100。

对（n，k）循环码，通过对（x n+1）进行因式分解选择出生成多项式g（x），就可由信息码编出相应的循环码字。现讨论如何从g（x）和信息码直接编出相应的系统码，设信息码多项式为m（x），则

信息码多项式m（x）的最高次幂为k-1。将m（x）左移n-k位成为x n-km（x），其最高次幂为n-1。x n-km（x）的前一部分为连续k位信息码，后一部分为r=n-k位的 “0”，r正好是监督码的位数。所以在它的后一部分添上监督码，就编出了相应的系统码。监督码由监督关系确定，循环码的生成多项式g（x）确定循环码，因此g（x）也确定监督关系。显然，循环码的任何码多项式都可以被g（x）整除，即T（x）=I（x）g（x）。用x n-km（x）除以g（x）得

所得的余式r（x）的最高次幂为n-k-1次，即r（x）=rn-k-1x n-k-1+rn-k-2x n-k-2+…+r1x+r0。

将r（x）作为监督位的多项式，与x n-km（x）模2相加，形成新的多项式为

由式（4-54）可见

所以T（x）能被g（x）整除，其最高次幂为n-1。T（x）的前一部分为连续k位信息码，后一部分为r=n-k位监督码。T（x）为循环码的码多项式，而且是系统码。

这种编码方式，具体可分为三个步骤。如对（7，3）循环码选择生成多项式为式（4-52），即g（x）=x 4+x 3+x 2+1，并设已知信息码为111。

（1）将信息位m（x）左移n-k 位成为x n-km（x）。即信息码111 左移4 位成为1110000。

（2）利用式（4-54）做除法，求出余式r（x）。对该例，则有

得余式r（x）=x 2，即监督码的多项式。把此码多项式的形式用其系数代替，写成码字的形式为

余式的码字为0100。

（3）构成系统码T（x）=x n-km（x）+r（x）。对于本例系统码为1110000+0100=1110100。