线性分组码的伴随式和校验能力

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：所以称为监督矩阵为H 的（n，k）线性分组码的伴随式。对于偶校验码，当总码长为n时，即线性分组码，它只有一位监督码元c0，其构成的监督关系式见（4-9）。因此它只能检错不能纠错。如果在增加一位监督位，相应的再增加一个监督关系式，那么S就有00，01，10，11。用其中一种00表示无错，剩余的3种能够用来指出一位错误的三种不同位置，即具有纠错功能。全 “0”矢量表示无错，所以S最多可指出2r-1种错误。

设发端发出的许用码为C= [Cn-1Cn-2…C1C0]，它符合CH T=O。经过信道传输后，假设收端收到的码字为R= [rn-1rn-2…r1r0]。如果R=C，把R代入式（4-20）计算，则RH T=O判为正确。但由于传输误差R与C不一定相同，其误差为

式中 E——差错序列或错误图样。

E表示了R中具体哪一位发生了错误，即ei=0，表示第i位无错，ri=ci；ei=1，表示第i位有错，ri≠ci。

把R代入式（4-20）中，得

其中，S= [sr-1sr-2…s1s0]为1×r阶行矢量。由式（4-33）可见，S只与错误图样E有关，而与发送的码字C无关。所以称为监督矩阵为H 的（n，k）线性分组码的伴随式。当E= [000…00]1×n时，S= [000…00]1×r；当E不为零时，S不为零。译码器可通过伴随式S进行检错纠错；如果S为零，则译码器判断接收码字正确，并从该码字中除去监督位，然后输出信息位；如果S不为零，则必定有错，由S可判断出错误的位置。

如对于（7，3）码，设C= [1110100]，若有一位错码，使R= [11100＊00]（表示错码），则E= [0000100]，可得(https://www.chuimin.cn)

可见，S T刚好是错误图样E中 “1”所对应的H中的一列，即R的第i位有错，则E的第i位为“1”，S T与H中的第i列相同。判断出错误后，可利用R⊕E=C纠错。

对于偶校验码，当总码长为n时，即（n，n-1）线性分组码，它只有一位监督码元c0，其构成的监督关系式见（4-9）。在接收端进行解码校验时，要判断接收到的码是否满足监督关系式（4-9），实际上就是计算S=rn-1⊕rn-2⊕…⊕r1⊕r0。

当S=0时，符合监督关系式，判断接收到的码无错；当S=1时，不符合监督关系式，就认为有错。S的取值只有两个，它只能表示无错、有错两种状态，而无法指出错在哪一位。因此它只能检错不能纠错。如果在增加一位监督位，相应的再增加一个监督关系式，那么S就有00，01，10，11。用其中一种00表示无错，剩余的3种能够用来指出一位错误的三种不同位置，即具有纠错功能。同理，如果有r个监督关系式，它可以指出一位错码的（2r-1）个可能的位置。

对（n，k）线性分组码，有r=n-k个监督关系式，有2r个不同的S。全 “0”矢量表示无错，所以S最多可指出2r-1种错误。要纠正所有个数不大于t的错，必须满足

式（4-35）说明了监督位数r与纠错能力的关系。当上式取等号时，2r最小，即r达到满足要求时的最小值，此时监督位利用得最充分，称为完备码。

线性分组码的伴随式和校验能力

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