线性分组码生成矩阵探究

2023-06-27 理论教育版权反馈

【摘要】：由式已经可以产生监督码元C3C2C1C0，只要在其中添上信息码元的方程即可得出许用码字，如下式将式写成矩阵形式为对式取转置，得矩阵G称为分组码的生成矩阵。所以线性分组码具有封闭性。对（n，k）线性分组码来说，其信息位长为k，共有2k个不同组合的信息码。（n，k）线性分组码A的生成矩阵G的每一行都是码组A 的一个许用码字，它一定满足H矩阵所确定的r个监督关系。所以该码的最小重量必然是该线性分组码的最小距离。

生成矩阵是在已知信息码元时确定相应的许用码字C= [C6C5C4C3C2C1C0]的矩阵。由式（4-14）已经可以产生监督码元C3C2C1C0，只要在其中添上信息码元的方程即可得出许用码字，如下式

将式（4-24）写成矩阵形式为

对式（4-25）取转置，得

矩阵G称为分组码的生成矩阵。G为k×n阶矩阵，行数为信息位的个数，列数为码字的长度。已知矩阵G和信息码后，由式（4-26）可生成许用码字C。

由式（4-27）可见G= [Ik…Q]，其中Ik为k阶单位矩阵。这种形式的生成矩阵G是典型生成矩阵。同样，典型生成矩阵的各行也是线性无关的。由典型生成矩阵得出的码字C是信息位在前，监督位在后的系统码。实际上，G中的每一行都是一个许用码字。G中的第一行、第二行、第三行分别是信息位为 [100]、 [010]、 [001]时计算出的许用码字。

由式（4-27）可知，当已知监督矩阵H和生成矩阵G中任意一个时，另一个即可确定，其监督关系和它所对应的分组码也就确定了。

在线性分组码中，任意两个许用码字对应位模2相加还是此码组中的一个码字。所以线性分组码具有封闭性。对（n，k）线性分组码来说，其信息位长为k，共有2k个不同组合的信息码。设Cix、Cjx为其中两个信息码，由式（4-26）可算出它们所对应的许用码字Ci、Cj为

上式中，Cl还是一个k位的二元序列，它必然是2k个不同组合的信息码中的一个，所以Ci⊕Cj必然是生成矩阵为G的线性分组码中的一个许用码。

（n，k）线性分组码A的生成矩阵G的每一行都是码组A 的一个许用码字，它一定满足H矩阵所确定的r个监督关系。如果把G当作另一个码组B 的监督矩阵，H 当作码组B 的生成矩阵，则码组B为（n，n-k）线性分组码，H的每一行一定满足G 矩阵所确定的k个监督关系。这样的码组A和码组B 称为对偶码。

线性分组码的最小距离dmin等于该码的最小重量（除全“0”码字外），即

由于线性分组码具有封闭性，从码距的定义可知任意两个许用码之间的距离必然是另一个许用码的重量。所以该码的最小重量必然是该线性分组码的最小距离。

对线性分组码，由监督矩阵H 中线性不相关的列数可以得到线性分组码中最小码距的上界为

由CH T=O可见，当C取最小重量的码字，即C中 “1”的个数为Wmin时，则得到H中最小相关的列的数目，即H中小于或等于Wmin-1列是线性独立不相关的。H 为n-k行矩阵，其最大的秩为n-k。根据矩阵的性质，则H 中最大不相关的列数不大于H 的秩，可得Wmin-1≤n-k，即dmin-1≤n-k，或写为dmin≤n-k+1=r+1。当取dmin=n-k+1=r+1时，称为最大可辨距离。

线性分组码生成矩阵探究

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