Newton-Raphson迭代法详细求解过程

2023-06-27 理论教育版权反馈

【摘要】：牛顿－拉夫森迭代法也称牛顿迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。图4－2牛顿迭代法实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。假设连续体为线弹性本构模型，则根据弹性力学可知式中：M 和λ 可以根据弹性模量E 和泊松比υ 求得，即图4－3 所示为牛顿迭代法的编译流程。图4－3牛顿迭代法编译流程

在黏聚裂纹模型编译中，裂纹张开位移的求解是非常关键的，本程序采用牛顿－拉夫森方法实现。牛顿－拉夫森迭代法（Newton－Raphson's method）也称牛顿迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于f（x）的线性化近似函数l（x）＝f（x0）＋f′（x0）（x－x0）曲线y＝f（x）过点（x0，f（x0））的切线而得名的，求f（x）的零点代之以求l（x）的零点，即切线l（x）与x 轴交点的横坐标，如图4－2 所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

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图4－2　牛顿迭代法

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由xk得到xk＋1，从几何图形上看，就是过点（xk，f（xk））作函数f（x）的切线lk，切线lk与x 轴的交点就是xk＋1，则

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整理后可以得出牛顿迭代公式：

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牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。为了求解这个问题，设R（w）是残值矢量，其范数｜R（w）｜作为一个判断阈值，每次迭代时都要进行判断，根据牛顿迭代法的收敛，以确定求解是否收敛，则式（3－84）可写为