流行的元编程方法优化方案

2023-06-27 理论教育版权反馈

【摘要】：流形元方法是20 世纪90年代由石根华博士［23，25］提出来的，是一种新兴的数值计算方法。图2－8两套网格系统［24］物理网格；数学网格；计算网格；流形单元由于流形元法采用了两套覆盖，因而在模拟裂纹扩展方面有很强的优势。

流形元方法是20 世纪90年代由石根华博士［23，25］提出来的，是一种新兴的数值计算方法。它基于数学上的拓扑流形和微分流形，吸收了传统的有限元技术和DDA 两方面的优点。应用流形的有限覆盖技术统一了连续与非连续性问题的数学描述，对于连续与非连续问题采用统一的插值格式，因此能够更方便地处理非连续性问题。

数值流形方法使用两套网格（数学网格和物理网格），形成两套覆盖（数学覆盖和物理覆盖）系统，这是流形元法与有限元法的一个主要区别。图2－8 所示为流形元的覆盖和采用的两套网格示意图。数学覆盖只定义近似解的精度，可以任意选择，相互重叠，但必须覆盖整个材料区域；而物理覆盖作为实际的材料边界，是数学覆盖的细化，受材料的边界、裂隙及不同的介质界面的控制，代表材料的条件，因而物理网格不能由用户自由地定义或选择。数学网格［图2－8 （a）］是由贴在物理网格之上的一层规则的三角形网格单元组成的，用来定义差值函数；而物理网格［图2－8 （b）］定义所分析问题的物理域。两层网格相互重叠的部分，构成计算网格［图2－8 （c）］。如果插值网格完全覆盖物理域，物理域与插值函数的插值域就可以完全分离，最后形成流形单元［图2－8 （d）］，即积分单元。

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图2－8　两套网格系统［24］

（a）物理网格；（b）数学网格；（c）计算网格；（d）流形单元

由于流形元法采用了两套覆盖，因而在模拟裂纹扩展方面有很强的优势。如果采用有限元网格作为数学覆盖，在模拟裂纹扩展的过程中数学覆盖保持不变，即相当于有限元网格保持不变，则模拟裂纹扩展的问题变得简单。

PBX 材料是一种抗压强度远远大于其抗拉和抗剪强度的脆性材料，其破坏的主要形式为拉伸破坏和剪切破坏。其破坏过程一方面是在外载作用下，材料内部的应力超过了材料的抗拉或抗剪强度而导致材料开裂形成裂纹；另一方面是由于材料内部已形成的裂纹被激活得到进一步扩展。

流形元法在判断新裂纹的起裂和旧裂纹扩展问题中，主要采用摩尔－库伦准则［26］作为起裂的判据：①当第一主应力大于材料的抗拉强度时，材料被拉伸破坏，产生新裂纹；②当某点的最大剪应力大于材料的抗剪强度时，材料被剪切破坏，产生新裂纹。用σ1、σ3分别表示第一和第三主应力，T0为材料抗拉强度，C 为黏结力，φ 为摩擦角，则以上判据可以表示如下：

（1）对于拉伸破坏，有