非线性问题的求解和迭代收敛准则

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：非线性方程组的求解方法求解非线性方程组，迭代法是最常见的，其中Newton-Raphson方法被认为是很稳定的、适用于求解高度非线性问题的方法。迭代的收敛准则求解非线性方程组时，必须给出迭代收敛判据。当材料软化严重，或材料接近理想塑性时，失衡力的微小变化将引起位移量的很大偏差。另外，当相邻两次迭代得到的位移增量范数之比波动较大时，将把一个本来收敛的问题判为不收敛。

在金属切削过程中，局部金属发生了大位移、大应变和高应变率。在金属切削过程的有限元数值分析中，无论是几何的非线性、材料的非线性，还是由边界条件和/或载荷引起的非线性，一些物理量的数值都是通过离散化后求解描述它们的非线性有限元方程得到的。

（1）非线性方程组的求解方法求解非线性方程组，迭代法是最常见的，其中Newton-Raphson方法被认为是很稳定的、适用于求解高度非线性问题的方法。

（2）迭代的收敛准则求解非线性方程组时，必须给出迭代收敛判据。不给出收敛判据，就无法终止迭代；收敛值给得不合适，则结果不精确或太费时间，甚至计算失败。以下是常用的判据：

1）失衡力判据：

‖{ΔQ}_n‖≤α_D‖{P}_n‖ （3-35）

其中失衡力：

{ΔQ}_n={P}-R{u_n} （3-36）

式中，{P}、R{u_n}分别是载荷节点力和计算的节点力（N/m²）。(https://www.chuimin.cn)

当材料软化严重，或材料接近理想塑性时，失衡力的微小变化将引起位移量的很大偏差。所以，在这种情况下不能用失衡力判据。

2）位移判据：

式中，α_D是位移收敛容差，一般取0.1%～5%。

当材料硬化严重时，位移增量的微小变化将引起失衡力的很大偏差。另外，当相邻两次迭代得到的位移增量范数之比波动较大时，将把一个本来收敛的问题判为不收敛。