齿轮传动中渐开线的应用与特性

5-1-01各种齿轮传动动画演示

1.概述

齿轮传动是应用最广泛的传动机构之一。按照两轴的相对位置，可将其分为平面齿轮机构和空间齿轮机构两大类。

两轴平行的齿轮传动称为平面齿轮传动或圆柱齿轮传动，如图5－16（a）～图5－16（e）所示；两轴不平行的齿轮传动称为空间齿轮传动，如图5－16（f）～图5－16（j）所示。

按照齿轮工作时的密封条件，齿轮传动可分为闭式传动和开式传动。闭式传动的齿轮封闭在刚性箱体内，润滑和工作条件良好，重要的齿轮传动都采用闭式传动；开式传动的齿轮是外露的，不能保证良好润滑，且易落入灰尘、杂质，故齿面易磨损，只用于低速传动。

图5-16　齿轮传动类型

（a）外啮合直齿圆柱齿轮传动；（b）内啮合直齿圆柱齿轮传动；（c）齿轮齿条传动；（d）平行轴斜齿圆柱齿轮传动；（e）人字齿轮传动；（f）锥齿轮传动；（g）弧齿锥齿轮传动；（h）交错轴斜齿轮圆柱齿轮传动；（i）蜗轮蜗杆传动；（j）准双曲面齿轮传动

齿轮传动具有以下特点：运行平稳，能保证恒定的传动比；结构紧凑、工作可靠、寿命长、效率高；功率和速度的适用范围广。但齿轮传动的制造和安装精度要求高，故成本较高；不适合于中心距较大的传动；精度低时，工作噪声较大。

2.渐开线齿廓

齿轮的轮齿齿廓（即外形）曲线并非随意选取的，为了保证齿轮传动的平稳性，对齿轮齿廓曲线的特性有一定的要求，即任一瞬时的传动比恒定。满足这一要求的齿廓曲线有渐开线、摆线、圆弧等，目前广泛用于各类机械的齿轮齿廓曲线是渐开线，称为渐开线齿轮。

（1）渐开线的形成及其性质

当一直线AB 在半径为rb 的圆上做纯滚动时（见图5－17），直线上任一点K 的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为基圆，rb 称为基圆半径，直线AB 称为发生线。

由渐开线的形成过程可知，渐开线具有以下性质：

图5-17　渐开线的形成

1）发生线在基圆上滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长，即KN＝CN。

2）因发生线在基圆上做纯滚动，所以K 点附近的渐开线可以看成是以N 为圆心的一段圆弧。于是N 点是渐开线在K 点的曲率中心，KN 是渐开线在K 点的法线，同时又切于基圆，K 点离基圆越远，曲率半径越大。

3）渐开线的形状取决于基圆的大小。基圆不同，渐开线形状也不同，基圆越大，渐开线越平直，当基圆半径无穷大时，渐开线成为直线，即渐开线齿条的齿廓。

4）由于渐开线是发生线从基圆向外伸展的，故基圆内无渐开线。

（2）渐开线齿廓的啮合特性

1）传动比恒定不变。图5－18 中E1、E2 两条曲线是一对在K 点啮合的渐开线齿廓，它们的基圆半径分别为rb1和rb2。当E1、E2 在任意点K 啮合时，过K 点作这对渐开线齿廓的公法线，依据前述渐开线的特性，该线必与每个基圆相切，切点为N1、N2，N1N2 又是两基圆的内公切线。N1N2 与连心线O1O2 相交于P 点，分别以O1、O2 为圆心，以O1P、O2P 为半径所作的圆称为节圆。由于其基圆半径rb1、rb2 不变，则其内公切线N1N2是唯一的，交点P 必为一定点。由力学原理可知，只要两齿廓保持接触，vK1 和vk2 在N1N2 方向的分量必相等，得出两轮的传动比为

图5-18　渐开线齿廓的啮合

2）传动中心距的可分性。如图5－18 所示，直角三角形O1N1P 与直角三角形O2N2P 相似，所以两轮的传动比还可以写为

式中，r′1、r′2 和rb1、rb2分别为两轮的节圆半径和基圆半径。

上式说明，一对齿轮的传动比为两基圆半径的反比，而与中心距无关。

因此，齿轮传动实际工作时，即使中心距稍有变化也不会改变瞬时传动比，这是因为已制好的两齿轮基圆不会改变。渐开线齿轮传动的中心距稍有变动时仍能保持传动比不变的特性，称为中心距可分性。中心距可分性给齿轮传动的设计提供了方便。

3）啮合时传递压力的方向不变。齿轮传动时，其齿廓接触点K 称为啮合点，其运动轨迹称为啮合线。渐开线齿廓啮合时，由于无论在哪一点接触，K 处的公法线总是两基圆的内公切线N1N2，故渐开线齿廓的啮合线就是直线N1N2。由此可知，齿廓公法线、基圆内公切线和啮合线是同一条直线。

啮合线N1N2 与两轮节圆的公切线t－t 间的夹角α 称为啮合角。显然，渐开线齿廓啮合传动时，啮合角α′为常数。

这表明，一对渐开线齿轮在啮合时，无论啮合点在何处，其受力方向始终不变，从而使传动平稳。这是渐开线齿轮传动的又一特点。

注意：只有在一对齿轮相互啮合的情况下，才有节圆和啮合角，单个齿轮不存在节圆和啮合角。

3.渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸计算

（1）齿轮的基本参数

1）齿数z。一个齿轮的轮齿总数，主动轮为z1、从动轮为z2。

2）分度圆直径d 和模数m。图5－19所示为渐开线直齿圆柱齿轮的一部分。da 为齿顶圆直径，df 为齿根圆直径。为了设计、制造方便，在齿轮上齿顶圆与齿根圆之间取一个圆作为度量齿轮尺寸的基准，这个圆称为分度圆，d 为分度圆直径。沿某一圆周上量得的轮齿厚度称为齿厚，相邻两齿之间的距离称为齿槽宽。对于标准齿轮，在分度圆上，齿厚s 和齿槽宽e 相等，即s＝e。

相邻两齿同侧齿廓之间的分度圆弧长称为分度圆齿距（简称齿距），用p 表示。

于是，分度圆周长为pz＝πd 或d＝zp／π，式中π 为无理数，为了计算和测量方便，人为地规定p／π 的值为标准值，称为模数，用m 表示，因此有

表5－3 所示为国家标准GB／T 1357—2008 规定的标准模数系列，其单位为mm。

图5-19　齿轮各部分名称

表5-3　标准模数系列　mm

3）压力角α。力的作用方向和物体上力的作用点的速度方向之间的夹角称为压力角。

如图5－20 所示，在不计摩擦时，正压力Fn 与接触点K 的速度vK 方向所夹的锐角αK 称为渐开线齿廓上该点的压力角。

由图5－20 可得

式中，rb 为基圆半径，rk 为渐开线上K 点的向径。

由式（15－2）可知，渐开线齿廓上各点的压力角不相等，离基圆越远的点，其压力角越大。齿轮的压力角α 通常是指渐开线齿廓在分度圆上的压力角。我国规定标准渐开线齿轮的压力角α＝20°。只要以分度圆半径r 代替上式中的rK 即得分度圆上压力角α 的计算公式

图5-20　压力角

至此，可重新给分度圆下一个完整、确切的定义：分度圆是具有标准模数和标准压力角的圆。

4）齿顶高系数和顶隙系数c∗。齿顶高和齿根高都与模数成正比，所以，齿顶高ha 和齿根高hf 可分别表示为

式中，为齿顶高系数，c∗为顶隙系数。对于圆柱齿轮，我国标准规定＝1，c∗＝0.25。

c∗m 称为顶隙，是一齿轮的齿顶圆与另一齿轮的齿根圆之间的径向距离。当齿轮的模数、压力角、齿顶高系数、顶隙系数均为标准值，且分度圆上的齿厚等于齿槽宽时，这样的齿轮就称为标准齿轮。

（2）齿轮的几何尺寸计算

渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要几何尺寸计算如下：

1）分度圆直径d。

2）齿顶高ha 和齿根高hf。

3）齿顶圆直径da 和齿根圆直径df。

4）标准中心距a。一对标准渐开线齿轮安装以后，如果两齿轮的分度圆正好互相外切（分度圆与节圆重合），则称为标准安装。此时两轮的中心距等于两轮分度圆半径之和，这种中心距称为标准中心距，即

式中有上下运算符，上面符号用于外啮合及外齿轮，下面符号用于内啮合及内齿轮。

相邻两齿同侧齿廓间沿公法线所量得的距离称为齿轮的法向齿距；相邻两齿同侧齿廓的渐开线起始点之间的基圆弧长称为基圆齿距。根据渐开线的性质^[1]知，法向齿距和基圆齿距相等，将二者均用pb 表示。由齿距的定义和式（5－5）可得

4.渐开线直齿圆柱齿轮的啮合条件

（1）正确啮合条件

为保证两齿轮能正确啮合，即两对齿廓均在啮合线上相切接触，两轮齿间不产生间隙或卡住，必须使两齿轮的法向齿距相等，即

将式（5－9）代入可得

由于齿轮的模数和压力角都已标准化，所以要满足上式应使

即一对渐开线直齿圆柱齿轮的正确啮合条件是：两轮的模数和压力角应分别相等。

根据正确啮合条件，一对渐开线齿轮的传动比公式可以写为

（2）连续啮合条件

要保证齿轮能连续啮合传动，前一对轮齿在退出啮合时，后一对轮齿必须提前或至少同时开始啮合，这样传动才能连续进行。

我们把一个齿轮每个齿每次参加啮合的时间之和与这个齿轮转动一圈所需的时间之比称为齿轮传动的重合度，用ε 表示，故渐开线齿轮连续传动的条件为

ε 越大，意味着多对轮齿同时参与啮合的时间越长，每对轮齿承受的载荷就越小，齿轮传动也越平稳。对于标准齿轮，ε 的大小主要与齿轮的齿数有关，齿数越多，ε 越大。直齿圆柱齿轮传动的最大重合度ε＝1.982，即直齿圆柱齿轮传动不可能始终保持两对轮齿同时啮合。理论上只要ε＝1 就能保证连续传动，但因齿轮有制造和安装等误差，实际应使ε ＞l。一般机械中常取ε≥1.1～1.4。

5.根切现象、最少齿数和变位齿轮的概念

（1）齿轮加工方法简介

渐开线齿轮轮齿的加工方法很多，常用的方法是切削加工。按加工原理的不同，切削加工又分为仿形法和展成法。

仿形法是用轴向剖面形状与齿槽形状相同的圆盘铣刀或指状铣刀在普通铣床上铣出轮齿。采用仿形法加工齿轮简单易行，但精度较低，且加工过程不连续，生产效率低，故一般仅适用于单件小批量生产及精度要求不高的齿轮，现在已很难见到。

展成法是利用一对齿轮互相啮合传动时其两轮齿廓互为包络线的原理来加工齿轮的。展成法切齿常用刀具有齿轮插刀、齿条插刀及滚刀。展成法加工齿轮时，只要改变刀具与轮坯的传动比，就可以用同一刀具加工出不同齿数的齿轮，而且精度及生产率均较高。因此，在大批量生产中多数采用展成法。

（2）根切现象和最少齿数

用展成法加工齿轮时，如果齿轮的齿数太少，则齿轮毛坯的渐开线齿廓根部会被刀具的齿顶切去一部分，这种现象称为根切（见图5－21）。轮齿根切后，弯曲强度降低，重合度也将减小，使传动质量变差，因此应尽量避免发生根切。

图5-21　根切现象

为了避免发生根切现象，标准直齿圆柱齿轮的齿数不能少于17。

（3）变位齿轮的概念

用展成法加工齿轮时，将刀具向远离或靠近轮坯中心方向移动一段距离，这种改变刀具和轮坯相对位置的加工方法称为变位修正法，由此加工出来的齿轮称为变位齿轮。规定：刀具向远离轮坯中心的方向移动称为正变位，向靠近轮坯中心方向移动称为负变位。

使用变位齿轮有两个目的：

1）为加工出齿数少于最少齿数而又不根切的齿轮。正变位可以避免根切，并可以使轮齿变厚，提高其抗弯强度。

2）凑中心距。负变位会加剧根切，使轮齿变薄，齿轮强度下降，只有齿数较多的大齿轮且为拼凑中心距时才可采用。例如齿轮传动中若因齿轮磨损过大而影响使用时，更换大齿轮的费用较高，可采用负变位修正大齿轮的齿廓，再加工一正变位的小齿轮与其配合，可大大降低维修费用。

注意：变位齿轮和变位传动在概念上的区别。

6.斜齿圆柱齿轮传动

（1）斜齿圆柱齿轮齿面的形成与啮合特点

在讨论直齿圆柱齿轮的齿廓形成和啮合特点时，都是在齿轮端面进行的。由于齿轮具有一定的宽度，所以其齿廓应该是渐开线曲面。如图5－22（a）所示，直齿轮的齿廓曲面是发生面S 绕基圆柱做纯滚动时，发生面上平行于基圆柱母线的直线在空间形成的柱形渐开线曲面，如图5－22（b）所示。而斜齿轮的齿廓曲面是发生面上与基圆柱母线成一夹角β 的直线在空间形成的一渐开螺旋面，如图5－23 所示。

图5-22　直齿圆柱齿轮

（a）齿廓曲面的形成；（b）接触线

图5-23　斜齿圆柱齿轮

（a）齿廓曲面的形成；（b）接触线

由齿廓的形成过程可以看出，直齿圆柱齿轮由于轮齿齿向与轴线平行，在与另一个齿轮啮合时，沿齿宽方向的瞬时接触线是与轴线平行的直线。

一对轮齿沿整个齿宽同时进入啮合和脱离啮合，致使轮齿受力和变形都是突然发生的，易引起冲击、振动和噪声，尤其是在高速传动中更为严重。而斜齿轮啮合传动时，齿面接触线与齿轮轴线相倾斜，一对轮齿是逐渐进入啮合，同时逐渐脱离啮合，多齿啮合的时间比直齿轮长，故斜齿轮传动平稳、噪声小、重合度大、承载能力强，适用于高速和大功率场合。缺点是斜齿轮传动中要产生轴向力，使轴承支承结构变得复杂。

（2）斜齿圆柱齿轮的主要参数和几何尺寸计算

1）端面齿距pt、法面齿距pn 和螺旋角β。

图5－24 所示为斜齿轮分度圆柱面的展开图，图中阴影线部分为被剖切轮齿，空白部分为齿槽，pt 和pn 分别为端面齿距和法面齿距，由图中几何关系可知

式中，β 为分度圆柱面上螺旋线的切线与齿轮轴线的夹角，称为斜齿轮的螺旋角，一般β＝8°～20°。

根据螺旋线的方向，斜齿轮有左旋和右旋之分，如图5－25 所示。

图5-24　斜齿轮分度圆柱展开图

图5-25　斜齿轮轮齿旋向

2）端面模数mt 和法面模数mn。

由于加工斜齿圆柱齿轮的轮齿时，齿轮刀具是沿轮齿的倾角方向进刀的，因此斜齿圆柱齿轮的齿槽，在法面内与标准直齿圆柱齿轮相同，规定斜齿轮的法面参数（mn、αn、）为标准值。加工斜齿轮时，应按其法面参数选用刀具。法面模数m 可由表15－3 查得，法面压力角αn＝20°，法面齿顶高系数＝1，法面顶隙系数＝0.25。

3）齿顶高系数和顶隙系数。

因为轮齿的径向尺寸无论是从端面还是从法面看都是相同的，所以，端面和法面的齿顶高、顶隙都是相等的，取标准值

4）压力角。

图5－26 所示为斜齿条的一个齿，由图中的几何关系可以导出

5）分度圆直径。

图5-26　端面压力角和法面压力角

6）标准中心距。

7）齿顶圆、齿根圆直径。

（3）斜齿圆柱齿

轮的正确啮合条件：在端面内，斜齿圆柱齿轮和直齿圆柱齿轮一样，都是渐开线齿廓，因此一对斜齿圆柱齿轮传动时，必须满足

两齿轮的螺旋角β 应大小相等、旋向相反。又由于斜齿圆柱齿轮的法向参数为标准值，故其正确啮合条件为

式中，“－”号用于外啮合，“ ＋”号用于内啮合。

（4）斜齿圆柱齿轮的当量齿数

进行强度计算或用成形法加工斜齿轮时，必须知道斜齿轮法向齿形。过斜齿轮分度圆上一点P 作轮齿的法向剖面n－n，该平面与分度圆柱面的交线为一椭圆，以椭圆在P 点的曲率半径ρ 为分度圆半径，以斜齿轮的法向模数mn 为模数，取标准压力角α，作一直齿圆柱齿轮，其齿形最接近于法向齿形，则称这一假想的直齿圆柱齿轮为该斜齿轮的当量齿数zv，即

7.锥齿轮传动

锥齿轮的轮齿分布在一截锥体上，如图5－27 所示，它用于两轴线相交的轴间传动，特别是两轴线互垂相交的轴间传动（Σ＝90°）。

锥齿轮传动因齿形的特点，很难获得高加工精度，不适用于高速度情况；另外，小锥齿轮（一般为主动轮）的齿轮轴多为悬臂支承，其支承强度和刚度都很弱，因此也不适用于重载情况。锥齿轮的轮齿可以是直齿、斜齿或弧齿。

直齿锥齿轮因其设计、加工及安装均较简便，故应用较广。而弧齿锥齿轮由于其传动平稳、结构紧凑并可传递较大负荷，故在汽车及拖拉机的差动轮系中获得广泛应用。

锥齿轮的几何尺寸计算以大端为标准，其基本参数和尺寸（见图5－27（b））如下：

锥距R：

5-1-02　曲面锥齿轮传动

齿宽B：

图5-27　锥齿轮传动

（a）传动关系与结构；（b）参数和尺寸

锥角δ：δ1 ＋δ2＝90°，其中

在大端的分度圆上，模数m 按国家标准规定的模数系列取值，压力角α＝20°，齿顶高系数＝1，顶隙系数c∗＝0.2。

锥齿轮的正确啮合条件为：两锥齿轮的大端模数和压力角分别相等且等于标准值，即

一对锥齿轮传动的传动比为

锥齿轮的当量齿数zv 为

8.齿轮的结构

（1）齿轮轴

对于直径较小的钢齿轮，当其齿根圆与键槽底部的距离x 较小，即x≤2m（m 为标准模数）（锥齿轮为x≤1.6m）时，将齿轮与轴制成一体，称为齿轮轴，如图5－28 所示。

（2）实体式齿轮

当齿轮的齿顶圆直径da≤200 mm 时，齿轮与轴分别制造，制成锻造实体式齿轮，如图5－29 所示。

（3）腹板式齿轮

当齿轮的齿顶圆直径da≤500 mm 时，可制成锻造腹板式齿轮，如图5－30 所示。

（4）轮辐式齿轮

当齿轮的齿顶圆直径da＝400～1 000 mm 时，可制成铸造轮辐式齿轮，如图5－31所示。

图5-28　齿轮轴

（a）圆柱齿轮；（b）锥齿轮

图5-29　实心式齿轮

图5-30　腹板式齿轮

图5-31　轮辐式齿轮

9.齿轮的失效形式及常用材料

（1）齿轮的失效形式

齿轮传动的失效主要发生在轮齿，常见的轮齿失效形式有以下5 种：

1）轮齿折断。当载荷作用于轮齿上时，在载荷多次重复作用下，齿根处将产生疲劳裂纹，随着裂纹的不断扩展，最后导致轮齿疲劳折断，如图5－32（a）所示。偶然的严重过载或大的冲击载荷，也会引起轮齿的突然折断，称为过载折断。

2）齿面点蚀。齿轮在啮合传动时，齿面受到脉动循环交变接触应力的反复作用，使得轮齿的表层材料出现微小的疲劳裂纹，导致齿面表层的金属微粒脱落，形成齿面麻点，这种现象称为齿面点蚀，如图5－32（b）所示。点蚀使轮齿齿面损坏，引起冲击和噪声，进而导致齿轮传动失效。点蚀通常发生在轮齿靠近节线的齿根表面上。

3）齿面磨损。在开式齿轮传动中，由于灰尘、铁屑等磨料性物质落入轮齿工作面间，而引起齿面磨粒磨损，如图5－32（c）所示。齿面过度磨损后，齿廓形状被破坏，轮齿变薄，最终导致严重的噪声和振动或轮齿折断，使传动失效。

4）齿面胶合。在高速重载齿轮传动中，由于齿面间压力大、温度高而使润滑失效，当瞬时温度过高时，相啮合的两齿面将发生粘焊在一起的现象，随着两齿面的相对滑动，粘焊被撕开，于是在较软齿面上沿相对滑动方向形成沟纹，如图5－32（d）所示，这种现象称为齿面胶合。胶合通常发生在齿面上相对滑动速度较大的齿顶和齿根部位。

5）齿面塑性变形。当齿轮材料较软且有重载作用时，轮齿表面材料将沿着摩擦力方向发生塑性变形，导致主动轮齿面节线处出现凹沟，从动轮处出现凸棱，如图5－32（e）所示。

图5-32　齿轮的失效形式

（a）轮齿折断；（b）齿面点蚀；（c）齿面磨损；（d）齿面胶合；（e）齿面塑性变形

（2）齿轮的常用材料

制造齿轮的常用材料首先是锻钢和铸钢，其次是铸铁，特殊情况可采用有色金属和非金属材料。这里仅简单介绍锻钢、铸钢和铸铁。

1）锻钢。

锻钢具有强度高、韧性好、便于制造等特点，还可以通过各种热处理的方法改善其力学性能。所以，重要的齿轮都采用锻钢。按齿面硬度和制造工艺的不同，可把锻钢齿轮分为两类。

①软齿面齿轮（齿面硬度≤350 HBS）。软齿面齿轮一般是热处理（调质或正火）以后进行切齿，齿面硬度通常为160～286 HBS。因齿面硬度低，故承载能力较低。但因制造工艺简单、成本低，故而广泛用于对尺寸及质量没有严格限制的一般机械中。由于小齿轮比大齿轮速度高、啮合次数多，故寿命较短，为使大、小齿轮的寿命接近，应使小齿轮的齿面硬度比大齿轮高25～50 HBS。软齿面齿轮的常用材料为45、40Cr、35SiMn、38SiMnMo 等中碳钢和中碳合金钢。

②硬齿面齿轮（齿面硬度＞350 HBS）。硬齿面齿轮通常是在半精加工后进行热处理的，常用的热处理方法有淬火和表面淬火等。齿面硬度通常为40～62 HRC。热处理后齿面有变形，可采用研磨、磨削等精加工方法加以消除。硬齿面齿轮齿面硬度高、承载能力高、耐磨性好，适用于对尺寸和质量有限制的重要机械中。硬齿面常用材料为20Cr、20CrMnTi（表面渗碳淬火）及45、35SiMn、40Cr（表面淬火或整体淬火）等。

2）铸钢

当齿轮较大（d ＞400～600 mm）或结构形状复杂而轮不宜锻造时，可采用铸钢齿轮。铸钢件由于铸造时内应力较大，故应在切削加工以前要进行正火或退火处理，以消除其内应力，以便于切削。常用的铸钢有ZG310－570 和ZG340－640 等。

3）铸铁

铸铁齿轮的抗弯强度和耐冲击性均较差，常用于低速和受力不大的齿轮传动中，通常用灰铸铁，有时也用球墨铸铁代替铸钢。常用的铸铁有HT300、HT350 及QT600－3（球墨铸铁σb＝600 MPa，δ＝3%）等。