平面弯曲与组合变形分析

1.平面弯曲的概念与实例

弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形形式，比如经常遇到像火车轮轴（见图3－55）、桥式起重机大梁（见图3－56）这样的杆件，这些杆件的受力特点为：在杆件的轴线平面内受到力偶或垂直于杆轴线的外力作用，杆的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式的变形称为弯曲变形。垂直于杆件轴线的力，称为横向力。以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁。

在工程问题中，绝大多数受弯杆件的横截面都有一根对称轴。图3－57 所示为常见梁的截面形状，y 轴为横截面对称轴。通过截面对称轴与梁轴线确定的平面，称为梁的纵向对称面。如图3－58 所示，若作用在梁上的所有外力（包括约束力）都作用在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将是在纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。平面弯曲是最常见、最简单的弯曲变形。

图3-55　火车轮轴

图3-56　桥式起重机大梁

图3-57　梁的截面形状

图3-58　梁的平面弯曲

为了便于分析和计算，需将梁进行简化，即以梁的轴线表示梁；将作用在梁上的载荷简化为集中力F 或集中力偶m 或均布载荷q；梁的约束（支撑梁轴线情况）可简化为固定铰链支座、活动铰链支座或固定端。通常将静定梁简化为3 种情况：

（1）简支梁

一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁，如图3－59（a）所示。

（2）外伸梁

具有一端或两端外伸部分的简支梁，如图3－59（b）所示。

（3）悬臂梁

一端为固定端支座，另一端自由的梁，如图3－59（c）所示。

图3-59　梁的分类

（a）简支梁；（b）外伸梁；（c）悬臂梁

2.平面弯曲的内力

（1）剪力和弯矩

为对梁进行强度计算，当作用于梁上的外力确定后，可用截面法来分析梁任意截面上的内力。

如图3－60（a）所示的悬臂梁，已知梁长为l，主动力为F，则该梁的约束力可由静力平衡方程求得，即

现欲求任意截面m－m 上的内力，可在m－m 处将梁截开，取左段为研究对象，如图3－60（b）所示，将该段上所有外力向截面m－m 的形心简化。列平衡方程，有

得F－FQ＝0，即

式中，FQ 称为横截面m－m 上的剪力，它是与横截面相切的分布内力的合力。

再由

可得M－Fx＝0，即

式中，M 称为横截面m－m 上的弯矩，它是与横截面垂直的分布内力的合力偶矩。

取右段为研究对象，如图3－60（c）所示，同理可求得截面m－m 上的FQ 和M，与左段是等值、反向的。

图3-60　梁的内力—剪力和弯曲

为使取左段和取右段得到的同一截面上的内力符号一致，特规定如下：

凡使所取梁段具有做顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负，如图3－61 所示。凡使梁段产生向下弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图3－62 所示。

图3-61　剪力符号表示

图3-62　弯矩符号表示

【例3-16】　求简支梁（见图3－63）n－n截面的弯矩。

解：1）求支反力。根据平衡条件，可得

图3-63　简支梁

2）计算n－n 截面上的弯矩。先取左段为研究对象，如图3－63（c）所示，设剪力FQ 的方向为正，弯矩M 的转向为正，由平衡方程

或者以右段为研究对象，如图3－63（d）所示，设剪力FQ 的方向为正，弯矩M的转向为正，由平衡方程，得

从以上计算可知，无论取左、右哪一段为研究对象，计算结果都是一样的。通过分析结果可以得出以下结论：

①横截面上的剪力等于截面左侧（或右侧）所有外力的代数和。左侧向上及右侧向下的外力均产生正的剪力，即“左上右下，剪力为正”。

②横截面上的弯矩等于截面左侧（或右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和。左侧顺时针及右侧逆时针的力矩均为正，即“左顺右逆，弯矩为正”。

这样，在实际计算中就可以不必截取研究对象通过平衡方程去求剪力和弯矩了，而是可以直接根据截面左侧或右侧的外力来求横截面上的剪力和弯矩。

梁弯曲时横截面上的内力一般包含剪力和弯矩这两个内力分量，虽然这两者都会影响梁的强度，但是对于跨度l 与横截面高度h 之比较大的非薄壁截面梁（l／h ＞5），剪力影响是很小的，一般均略去不计。

（2）剪力图和弯矩图

梁横截面上的弯矩一般是随着截面位置而变化的。为了描述其变化规律，用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x 的函数，即FQ＝FQ（x），M＝M（x），函数表达式分别称为剪力方程和弯矩方程，其图形则称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的基本作法是：先求出梁支座的约束力，以横截面沿轴线的位置x为横坐标，建立剪力方程和弯矩方程（以表示各截面的剪力、弯矩为纵坐标），应用函数作图法作图。

【例3-17】　如图3－64（a）所示，简支梁AB 作用有均布载荷q。试作剪力图和弯矩图。

解：1）求约束力。如图3－64（b）所示，由静力平衡方程可得

2）列剪力、弯矩方程。计算距左端（A 为坐标原点）x 处横截面剪力、弯矩，得

3）画剪力图和弯矩图。由剪力方程可知，剪力图为一条直线，FQ（0）＝ql／2，FQ（l）＝－ql／2，作这两点连线得剪力图，如图3－64（c）所示。

由弯矩方程可知，弯矩图为抛物线，M（0）＝0，M（l）＝0，＝ql2／8。由函数作图法可画出弯矩图，如图3－64（d）所示。

【例3-18】　如图3－65（a）所示，简支梁在C 点处受集中力F 的作用，试画出该梁的剪力图和弯矩图。

图3-64　受均布载荷作用的简支梁

图3-65　受集中力作用的简支梁

解：1）求约束力。如图3－65（b）所示，由静力学平衡方程可得

2）列剪力、弯矩方程。由于在点C 处作用有集中力F，故应将梁分为AC 和CB 两段，分段列剪力、弯矩方程，并分段画剪力图和弯矩图。用距A 点为x 的任一截面截AC 段，取左段列平衡方程得

同理，用距A 点为x 的任一截面截CB 段得

3）画剪力图和弯矩图。按剪力、弯矩方程分段绘制图形，剪力图在C 点有突变，弯矩图在C 点发生转折，如图3－65（c）和图3－65（d）所示。

【例3-19】　简支梁受集中力偶作用，如图3－66（a）所示。若已知M、a、b，试作此梁的剪力、弯矩图。

解：1）求约束力。如图3－66（b）所示，即

式中，l＝a ＋b。

2）列剪力、弯矩方程。由于在截面C 处作用有集中力偶，应分别列出AC 和CB 两段上的剪力、弯矩方程，并均以A 点为坐标原点，则有

AC 段：

图3-66　受力偶作用的简支梁

CB 段：

3）画剪力图和弯矩图。根据上述剪力、弯矩方程作剪力、弯矩图，如图3－66（c）和图3－66（d）所示。

若a＜b，则最大弯矩值为

（3）剪力图、弯矩图的快速画法

剪力图和弯矩图也可根据内力随外力的变化规律快速作图。

1）剪力图弯矩图随外力的变化规律

①在无载荷作用的梁段上剪力图是水平线，弯矩图是斜直线，如图3－65 和图3－66中的AC、CB 段所对应的剪力图、弯矩图。

②在集中力作用处剪力有突变，突变量等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向；弯矩图则在集中力作用处发生转折，如图3－65 中A、C、B 三点对应的剪力图和弯矩图。

③在集中力偶作用处剪力图无变化，弯矩图有突变，突变量等于集中力偶的大小，突变方向是：集中力偶顺时针转，弯矩向上突变；反之则向下突变，如图3－66 中C点对应的剪力图、弯矩图。

④在均布载荷作用的梁段上剪力图为斜直线，均布载荷方向下，斜直线斜率为负，反之为正；弯矩图为二次曲线，曲线的凹向与均布载荷同向，通常在剪力等于零的截面，曲线有极值，如图3－64 所示。

2）剪力图、弯矩图的快速画法

①画图。正确求解梁的约束力，画受力图。

②分段。凡梁上有集中力、力偶作用的点及均布载荷q 的起止点，都作为分段点。

③求值。计算各段起止点的剪力、弯矩及弯矩图的极值点，并利用剪力图、弯矩图的变化规律判断剪力图、弯矩图的大致形状。

④连线。连成直线或光滑的抛物线。

3.梁弯曲时横截面上的正应力

在确定了弯曲梁横截面上的弯矩和剪力后，还应进一步研究其横截面上的应力分布规律，以便建立梁的强度条件，进行强度计算。

（1）纯弯曲与横力弯曲

梁弯曲时横截面上只有弯矩M 而没有剪力FQ 的弯曲称为纯弯曲；弯矩M 和剪力FQ 同时存在的弯曲称为横力弯曲，也称为剪力弯曲。

（2）梁纯弯曲时横截面上的正应力

取一矩形截面梁，在梁的侧面画平行于轴线和垂直于轴线的线，形成许多正方形的网格，如图3－67（a）所示。然后在梁两端施加一对力偶（力偶矩为M），使之产生弯曲变形，梁的变形如图3－67（b）所示。从弯曲变形后的梁上可以看到：各纵向线弯曲成彼此平行的圆弧，内凹一侧的原纵向线缩短，而外凸一侧的原纵向线伸长；各横向线仍然为直线，只是相对转过了一个角度，但仍与纵向线垂直。

由于变形的连续性，在伸长纤维和缩短纤维之间必然存在一层既不伸长也不缩短的纤维，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中线轴，如图3－68 所示，横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力和压应力，中性轴上各点的应力为零。经分析可证明，中性轴必然通过横截面的形心。

图3-67　梁纯弯曲变形现象

由梁弯曲时的变形，可推导出梁横截面上任一点（距中性轴的距离为y）的正应力σ 的计算公式为

式中，M 为弯矩（N·m）；Iz＝ 为横截面对中性轴的惯性矩（m4 或mm4），是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量。

式（3－38）表明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离M 成正比，在距中性轴等远处各点的正应力相等。正应力的分布如图3－69 所示。

图3-68　中性层和中性轴

图3-69　弯曲时的正应力分布

在中性轴（y＝0）上，各点的正应力为零；在中性轴的两侧，其各点的应力分别为拉应力和压应力。在离中性轴最远处（y＝ymax），产生最大正应力

式（3－38）是梁在纯弯曲的情况下建立的，对于横力弯曲的梁，若其跨度l 与截面高度h 之比l／h 大于5，可以证明，应用式（3－39）计算误差很小。工程上，一般梁的l／h 往往大于5，因此常将式（3－38）推广应用于横力弯曲梁的正应力计算。

对于各种几何形状的截面，对中性轴的轴惯性矩计算公式采用与扭转中极惯性矩公式类似的推导方法得出，此处略。常用的梁截面的轴惯性矩计算公式见表3－1。

表3-1　常用的梁截面的轴惯性矩及抗弯截面模量计算公式

4.梁弯曲时的强度计算

等截面直梁弯曲时，弯曲绝对值最大的横截面是危险截面，全梁最大正应力σmax发生在危险截面上离中性轴最远处，其计算式为

式中，Iy 和ymax都是只与截面形状和尺寸有关的几何量。令

Wz 称为抗弯截面模量，其值与横截面形状和尺寸有关，单位为m3 或mm3。常用截面形状的抗弯截面模量计算公式见表3－1。

各种型钢的抗弯截面模量可以从型钢表中查得。

将式（3－41）代入式（3－40），得

为了保证安全工作，最大工作应力σmax不得超过材料的弯曲许用应力［σ］，即

许用弯曲应力［σ］的数值可从有关设计手册查得。

式（3－43）只适用于抗拉和抗压强度相等的材料。对于像铸铁等脆性材料制成的梁，因材料的抗压强度远高于抗拉强度，故其相应强度条件为

式中，分别为梁的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。

图3-70　吊车大梁

应用强度条件，可以进行三方面强度的计算，即校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁的许用载荷。

【例3-20】　吊车大梁用32c 工字钢制成，可将其简化为一简支梁，如图3－70（a）和图3－70（b）所示，梁长l＝10 m，自重不计。若最大起重载荷F＝35 kN（包括葫芦和钢丝绳），抗弯截面模量Wz＝7.6 ×105 mm3，许用应力为［σ］＝130 MPa，试校核梁的强度。

解：1）求最大弯矩。当载荷在中点时，该处产生最大弯矩，由图3－70（c）可得

2）校核梁的强度为

所以，该梁满足强度要求。

5.工程上构件的组合变形分析

在工程实际中有许多构件在载荷作用下，常常同时产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。构件在组合变形下的应力计算，在变形较小且材料服从胡克定律的条件下可用叠加原理，即构件在几个载荷同时作用下的效果，等于每个载荷单独作用时所产生效果的总和。这样，当构件处于组合变形时，只需将载荷进行适当的分解，分解成几组载荷，使每组载荷在单独作用下只产生一种基本变形，分别计算各基本变形时所产生的应力，最后将同一截面上同一点的应力叠加，就得到组合变形时的应力。下面简要介绍常见的拉伸（压缩）与弯曲组合变形、弯曲与扭转组合变形时的强度问题。

（1）拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度条件

图3－71（a）所示为钻床立柱的受力、变形分析，用截面法将立柱沿m－m 截面解开，取上半部分为研究对象，上半部分在外力F 和截面内力的作用下应处于平衡状态，故截面上有轴力FN 和弯矩M 共同作用，如图3－71（b）所示。由平衡方程求解得

图3-71　钻床立柱的受力、变形分析

所以，立柱将发生拉弯组合变形。其截面上既有均匀分布的拉伸正应力，又有不均匀分布的弯曲正应力，截面上各点同时作用的正应力可以进行代数相加，如图3－71（c）所示。截面左侧边缘点处有最大压应力，截面右侧边缘点处有最大拉应力，其值分别为

所以，拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度条件为

式（3－45）和式（3－46）只适用于许用拉应力和许用压应力相等的材料。拉伸和弯曲组合变形按式（3－45）进行强度计算；压缩和弯曲组合变形按式（3－46）进行强度计算。

对于许用拉应力和许用压应力不相等的材料，需对构件内的最大拉应力和最大压应力分别进行强度计算，即

【例3-21】　如图3－71（a）所示的钻床钻孔时，钻削力F＝15 kN，偏心距e＝0.4 m，圆截面铸铁立柱的直径d＝125 mm，许用拉应力［σ＋］＝35 MPa，许用压应力［σ－］＝120 MPa，试校核立柱的强度。

解：1）求内力。由上述分析可知，立柱各截面发生拉、弯组合变形，其内力分别为

2）强度计算。由于立柱材料为铸铁，其抗压性能优于抗拉性能，故只需对立柱截面右侧边缘点处的拉应力进行强度校核，即

所以，立柱的强度足够。

2）扭转与弯曲组合变形的强度条件

如图3－72 所示的轴是最常见的弯曲和扭转组合变形的构件，它是由塑性材料制成的圆轴，变形时，危险截面上离中性轴最远处（圆的边缘处）分别产生最大扭转剪应力和最大弯曲正应力，分别为

两种应力叠加但不能取代数和，它们对轴的强度的影响可以用一个应力来代替，这个应力称为相当应力，以σv 表示。根据第三、第四强度理论的强度条件，其相当应力分别为

式中，σv3，σv4分别为第三、四强度理论的相当应力（MPa），［σ］为材料的许用应力。式（3－48）和式（3－49）只适用塑性材料。

第三强度理论也称为最大剪应力理论，该理论认为最大剪应力是引起材料塑性屈服破坏的主要原因。第四强度理论也称为形状改变比能理论，该理论认为形状改变比能是引起材料塑性屈服破坏的主要原因。

对于圆轴弯曲和扭转组合变形时的第三、第四强度理论的强度条件分别为

式中，Mmax、T 分别为危险截面上的弯矩和扭矩，d 为圆轴直径。

【例3-22】　如图3－72（a）所示，电动机驱动带轮轴转动，轴的直径d＝50 mm，轴的许用应力［σ］＝120 MPa，带轮的直径D＝300 mm，带的紧边拉力T＝5 kN、松边拉力t＝2 kN。试校核轴的强度。

图3-72　转轴

解：1）外力分析。把作用于带轮边缘上的紧边拉力T 和松边拉力t 都平移到轴线上，并去掉带轮，得到AB 轴的受力简图，如图3－72（c）所示。

铅垂力

平移后的附加力偶矩

可见，圆轴AB 在铅垂力F 的作用下发生弯曲，而圆轴的AC 段在附加力偶m1 及电动机驱动力偶m 的共同作用下发生扭转，CB 段并没有扭转变形，即圆轴的AC 段发生弯曲与扭转的组合变形。

2）内力分析。由铅垂力F 所产生的弯矩如图3－72（d）和图3－72（e）所示，其最大值为

不考虑由铅垂力F 所产生的剪力，由附加力偶m 所产生的扭矩图3－72（f）和图3－72（g）可知，其AC 段的扭矩值处处相等，即

由此可见，轴的中央截面C 处为危险截面。

3）强度计算。按第三强度理论的强度条件式可得

所以，此轴有足够强度。

知识拓展

平面任意力系简介

作用在物体上的力都分布在同一平面内，或近似地分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。根据力系中各力作用线分布的特点不同，平面力系除平面汇交力系外还有平面任意力系。

1.平面任意力系的简化

在工程实际中，经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力都分布在同一平面内，或近似地分布在同一平面内，但它们的作用线任意分布且不相交于一点。例如，如图3－73 所示的悬臂吊车的横梁AB，受载荷Q、重力G、支座反力FAx和FAy及拉力T 的作用，显然这些力构成一个平面力系。有些构件虽不是受平面力系的作用，但当构件有一个对称平面，而且作用于构件的力系也对称于该平面时，则可以把它简化为对称平面内的平面力系。如高炉加料小车上的受力，即可简化为料车对称平面内的平面力系，如图3－74 所示。

图3-73　悬臂吊车横梁受力

图3-74　高炉加料小车受力

若作用于物体上各力的作用线在同一平面内且任意分布，则称该力系为平面任意力系（简称平面力系）。

（1）平面任意力系的简化

平面任意力系的简化，通常是利用力的平移定理，将力系向作用面内一点简化。

1）力的平移定理。

设力F 作用于刚体的A 点，另任选一点B，它与力F 作用线的距离为d，如图3－75所示。

图3-75　力的平移

在B 点加上一对平衡力F′和F″，且F＝F′＝F″，则F，F′和F″所组成的力系与力F 等效。而力F″与力F 等值、反向，且作用线平行，故构成力偶（F，F″），于是作用在A 点的力F 就与作用于B 点的力F′和力偶（F，F″）等效，力偶（F，F″）之矩等于力F 对B 点之矩，即

可见，作用于刚体上的力F 可平移到刚体上的任一点，但必须附加一个力偶，此力偶之矩等于原来的力F 对平移点之矩，这就是力的平移定理。

力的平移定理是分析力对物体作用效果的一个重要方法。例如，在图3－76（a）中，转轴上大轮受到力F 的作用。为了分析力F 对转轴的作用效应，可将力F 向轴心O 点平移。根据力的平移定理，力F 平移到O 点时，要附加一力偶，如图3－76（b）所示。设齿轮节圆半径为r，则附加力偶矩为m＝F·r。由此可见，力F 对转轴的作用，相当于在轴上作用一力F′和一力偶，这力偶使轴转动，而力F′使轴弯曲，并使轴颈和轴承压紧，引起轴承压力。

2）平面任意力系向一点的简化。

图3-76　力的平移定理的应用

设刚体上作用一平面力系F1，F2，…，Fn，如图3－77（a）所示。将力系中各力向平面内任意一点O（称为简化中心）平移，按力的平移定理得到一个汇交于O 点的平面汇交力系F1，F2，…，Fn 和一个附加的平面力偶系m1，m2，…，mn，如图3－77（b）所示。平面汇交力系可以合成为作用于简化中心O 点的一个合力F′R，其等于力F1，F2，…，Fn 的矢量和。由于F′1，F′2，…，F′n 分别与原力系中F1，F2，…，Fn 各力的大小相等、方向相同，所以

矢量F′R 称为原力系的主矢，如图3－77（c）所示。

平面附加力偶系可以合成为一个力偶，此力偶的矩MO 等于各附加力偶矩的代数和，即

而各附加力偶矩分别等于原力系中相应各力对简化中心O 点的矩，即

所以MO＝ΣmO（F）。

MO 称为原力系的主矩，如图3－77（c）所示。

图3-77　平面任意力系向一点的简化

于是可得结论：平面力系向平面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。此力称为该力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心；此力偶的矩称为该力系对简化中心的主矩，等于力系中各力对简化中心之矩的代数和。

应当指出，主矢F′R 是原力系的矢量和，所以它与简化中心的选择无关。显然，主矩MO 与简化中心的选择有关。选取不同的简化中心，可得到不同的主矩（各力矩的力臂及转向变化）。所以凡提到主矩，必须指明其相应的简化中心。

为了求主矢F′R 的大小和方向，建立直角坐标系xOy，如图3－77（c）所示。根据合力投影定理得

于是主矢F′R 的大小和方向可由下式确定，即

式中，θ 为F′R 与x 轴所夹的锐角。F′R 的指向由F′Rx和F′Ry的正、负号判定。

下面应用平面力系的上述简化结论，分析固定端约束及其约束反力的特点。所谓固定端约束，就是物体受约束的一端既不能向任何方向移动，也不能转动。以一端插入墙内的杆为例，如图3－78（a）所示，在主动力F 的作用下，杆插入墙内部分与墙接触的各点都受到约束反力的作用，组成一平面力系，如图3－78（b）所示。该力系向A 点简化，得一约束反力RA（通常用正交的两分力FAx、FAy表示）和一个力偶矩为MA 的约束反力偶，图3－78（c）所示即为固定端约束反力的画法。约束反力限制了杆件在约束处沿任意方向的移动，约束反力偶限制了杆件的转动。

图3-78　固定约束受力分析

3）平面任意力系简化结果的讨论

由上述可知，平面力系向一点简化，可得一个主矢F′R 和一个主矩MO。

①若F′R≠0，MO＝0，则F′R 就是原力系的合力F′，通过简化中心。

②若F′R≠0，MO≠0，如图3－79（a）所示，则力系仍可以简化为一个合力，只要将简化所得的力偶（力偶矩等于主矩）等效变换，使其力的大小等于主矢F′R 的大小，力偶臂d＝MO／F′R，然后转移此力偶，使其中一个力F″R 作用于简化中心，并与主矢F′R 取相反方向，如图3－79（b）所示，则F′R 和F″R 抵消，只剩下作用在O1 点的力FR，此即为原力系的合力，如图3－79（c）所示。合力FR 的大小和方向与主矢F′R相同，而合力的作用线与简化中心的距离为

合力作用线在O 点的哪一边，可以由主矩MO 的正负号来决定。

③若F′R＝0，MO≠0，则原力系简化为一个力偶，其力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。由于力偶对其平面内任一点的矩恒等于力偶矩，所以在这种情况下，力系的主矩与简化中心的选择无关。

④若F′R＝0，MO＝0，则原力系简化为一平衡力系。

图3-79　平面任意力系简化结果

2.平面任意力系的平衡及应用

平面力系向一点简化后，若主矢F′R 和主矩MO 不全为零，则原力系可简化为一个力或一个力偶，原力系便不可能保持平衡。可见，平面力系平衡的充要条件是：力系的主矢和力系对平面内任一点的主矩MO 都等于零。由前所述，得平面力系平衡的解析条件为

即力系中各力在两个任选的直角坐标轴上投影的代数和分别等于零，且各力对平面内任一点之矩的代数和也等于零。上式称为平面力系的平衡方程，包括两个力的投影方程和一个力矩方程。在求解实际问题时，为了使方程尽可能出现较少的未知量而便于计算，通常选取未知力的交点为矩心，投影轴则尽可能与该力系中多个力的作用线垂直或平行。

有时采用力矩式进行计算比采用力的投影式更简便，可选择2 个或3 个矩心，列出力矩方程，以代替一个或两个力的投影方程，从而得出平面力系平衡方程的二力矩形式（二矩式）和三力矩形式（三矩式）：

（1）二矩式

式中，A，B 为平面上任意两点，但AB 连线不能垂直于x（或y）轴。

（2）三矩式

式中，A，B，C 为平面上任意3 个点，但不共线。

无论选用哪组形式的平衡方程，对于同一个平面力系来说，最多只能列出3 个独立的方程，因而只能求出3 个未知量。

【例3-23】　如图3－80（a）所示，水平托架承受两个管子，管重G1＝G2＝300 N，A、B、C 处均为铰链连接，不计杆的重量，试求A 处的约束反力及支杆BC 所受的力。

图3-80　水平托架

解：1）取水平杆AB 为研究对象。作用于水平杆上的力有管子的压力F1、F2，其大小分别等于管子重量G1、G2，竖直向下；因杆重不计，故BC 杆是二力杆，水平杆B处的约束反力FB 沿BC 杆轴线，指向暂假设；铰链支座A 处的约束反力方向未知，故用两正交分力FAx、FAy表示，水平杆的受力如图3－80（b）所示。这是一个平衡平面任意力系。

2）建立直角坐标系xAy，列平衡方程有

由式③解得

将FB 的值代入式①，得

将FB 的值代入式②，得

上述计算结果中，FB 为正值，表示假设的指向就是实际指向；FAx为负值，说明假设的指向与实际指向相反，即FAx的实际指向为水平向左。

本例亦可用二矩式和三矩式求解，请读者自解。

【例3-24】　如图3－81（a）所示，悬臂梁AB 作用有集度为q＝4 kN／m 的均布载荷及集中载荷F＝5 kN。已知α＝25°，l＝3 m，求固定端A 的约束反力。

图3-81　悬臂梁

解：1）取梁AB 为研究对象。梁上作用有均布载荷q，相当于合力ql 作用于l中点。

作用于梁上的力有集中载荷F 及固定端约束反力FAx、FAy、MA。其受力分析如图3－81（b）所示。这是一个平衡的平面任意力系。

2）建立直角坐标系xAy，列平衡方程为

由式①得FAx＝－2.113（kN）。

由式②得FAy＝16.53（kN）。

由式③得MA＝31.59（kN·m）。

上述计算结果中，FAx为负值，表示FAx假设的指向与实际指向相反。

【例3-25】　梁AB 的支撑及载荷情况如图3－82（a）所示，求支座A、B 处的约束力。

图3-82　梁的支撑及载荷

解：1）取梁AB 为研究对象。梁上2a 段作用有均布载荷q，相当于合力q·2a 作用于2a 中点；集中力偶为qa2；约束反力为FA、FBx、FBy。其受力分析如图3－82（b）所示。这是一平衡的平面任意力系。

2）建立直角坐标系xAy，列平衡方程为

解式①～式③，得FA＝1／4qa，FBx＝0，FBy＝7／4qa。

3.考虑摩擦时的平衡问题

前面各节都把物体间的接触面看成是绝对光滑的，但实际上绝对光滑的接触面是不存在的，或多或少总存在一些摩擦，只是当物体间接触面比较光滑或润滑良好时，才忽略其摩擦作用而看成是光滑接触的。但有些情况下，摩擦却是不容忽视的，如夹具利用摩擦把工件夹紧、螺栓连接靠摩擦锁紧等。工程上利用摩擦来传动和制动的实例更多。

（1）滑动摩擦力和滑动摩擦定律

当相互接触的两个物体有相对滑动或相对滑动趋势时，接触面间有阻碍相对滑动的机械作用（阻碍运动的切向阻力），这种机械作用（阻力）称为滑动摩擦力。

1）静滑动摩擦力和静滑动摩擦规律。

为了研究滑动摩擦规律，用一个试验来说明，如图3－83（a）所示。设重为G 的物体放在一固定的水平面上，并给物体作用一水平方向的拉力P。当拉力较小时，物体不动但有向右滑动的趋势，为使物体平衡，接触面上除了有一个法向反力N 外，还存在一个阻止物滑动的力F，如图3－83（b）所示。力F 称为静滑动摩擦力（简称静摩擦力），它的方向与两物体间相对滑动趋势的方向相反，大小可根据平衡方程求得为

图3-83　滑动摩擦试验

静摩擦力F 随着主动力P 的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。但静摩擦力又和一般的约束反力不同，它并不随主动力P 的增大而无限增大。当主动力P 增大到某一限值时，物体处于将要滑动而尚未滑动的临界状态，此时静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，以Fmax表示。实验证明，最大静摩擦力的大小与法向反力成正比，即

这就是静滑动摩擦定律。式中，比例常数f 称为静滑动摩擦系数，简称静摩擦系数。f 的大小与接触物体的材料及表面状况（粗糙度、温度、湿度等）有关，而与接触面积的大小无关。

2）动滑动摩擦力与动滑动摩擦定律。

在图3－83 中，当主动力P 增大到略大于Fmax时，最大静摩擦力不能阻止物体滑动。物体相对滑动时的摩擦力，称为动滑动摩擦力，它的方向与相对速度方向相反。试验证明，动滑动摩擦力F′的大小也与法向反力成正比，即

这就是动滑动摩擦定律。式中，f′称为动滑动摩擦系数（简称动摩擦系数），它除了与接触面的材料、表面粗糙度、温度、湿度有关外，还与物体相对滑动速度有关。一般可近似认为动摩擦系数与静摩擦系数相等。

（2）摩擦角和自锁现象

考虑摩擦时，支撑面对物体的约束反力包括法向反力N 和切向反力（摩擦力）F。法向反力N 与摩擦力F 的合力R 称为支撑面对物体的全反力，如图3－84（a）所示。全反力R 与法向反力N 之间的夹角ϕ 随着摩擦力的增大而增大。当物体处于将滑而未滑动的临界状态时，摩擦力F 达到最大值Fmax，这时ϕ 角也达到最大值ϕmax，如图3－84（b）所示，ϕmax称为摩擦角。由图3－84（b）可得

图3-84　全反力

这表明摩擦角的正切等于静摩擦系数。

综上所述，物体静止平衡时，由于静摩擦力F 的大小总是小于或等于最大静摩擦力Fmax，因此支撑面的全反力R 与接触面法线的夹角ϕ 也总是小于或等于摩擦角ϕmax，即0≤ϕ≤ϕmax，表明物体平衡时全反力作用线的位置不可能超出摩擦角的范围。

如果作用于物体的主动力的合力Q 的作用线位于摩擦角范围内，如图3－85（a）所示，则不论这个力有多大，总有一个全反力R 与之平衡。如果主动力的合力Q 的作用线位于摩擦角之外，如图3－85（b）所示，则无论这个力有多小，物体也不能保持平衡。这种与力的大小无关而与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。物体在自锁条件下的平衡现象称为自锁现象。

例如，重量为G 的物体放在斜面上，如图3－86（a）所示，物体与斜面间的摩擦系数为f。以物体为研究对象，如图3－86（b）所示，物体在重力G 和斜面全反力R的作用下静止于斜面上，即G 与R 等值、反向、共线，由于全反力R 的作用线不能超出摩擦角ϕmax的范围，所以有λ≤ϕmax＝arctanf。

图3-85　自锁条件

图3-86　斜面摩擦

这就是物体在斜面上的自锁条件，即斜面的倾斜角小于或等于摩擦角。

工程上，在螺纹连接、蜗轮蜗杆传动中都有利用自锁的例子。螺纹展开就是一个斜面，如图3－87 所示，若螺旋升角λ 小于摩擦角ϕmax，则在轴向载荷的作用下，螺杆与螺母之间就不会滑动，即螺母拧紧后不会自动松弛。蜗杆传动中，只要蜗杆的螺旋角小于摩擦角，就具有自锁作用，即只能由蜗杆带动蜗轮转，而蜗轮不能带动蜗杆转，从而起到制动的作用。但是，对于某些传动，要避免自锁现象，以免使机构“卡死”。

（3）考虑摩擦时的平衡问题

求解有摩擦物体的平衡问题，在分析物体受力情况时，必须考虑摩擦力。静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，它的大小在零与最大值之间，是个未知数。要确定这些新增加的未知量，除列出平衡方程外，还需要列出补充方程，即

在实际工程中，有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于最大值，补充方程中只取等号。有时为了方便，先就临界状态进行计算，求得结果后再进行分析讨论。

【例3-26】　物体重为P，放在倾角为α 的斜面上，它与斜面间的摩擦系数为f，如图3－88（a）所示。当物体处于平衡时，试求水平力Q 的大小。

图3-87　螺纹展开成斜面

图3-88　例3-26 用图

解：由经验易知，力Q 太大，物块将上滑；力Q 太小，物块将下滑。因此，力Q的数值必在一范围内。

1）先求力Q 的最大值。当力Q 达到此值时，物体处于将要向上滑动的临界状态。在此情形下，摩擦力F 沿斜面向下，并达到最大值。物体共受4 个力作用：已知力P，未知力Q，N，Fmax，如图3－88（a）所示。

列平衡方程，得

此外，还有一个关系式，即

要注意，这里摩擦力的最大值Fmax并不等于fPcosα，因N≠Pcosα，故力N 的值须由平衡方程解出。

三式联立，可解得

2）再求Q 的最小值。当力Q 达到此值时，物体处于将要向下滑动的临界状态。在此情形下，摩擦力F 沿斜面向上，并达到另一最大值（因此时力N 的值与第一种情形不同），用F′max表示此力，物体的受力情况如图3－87（b）所示。列平衡方程，得

此外，根据静摩擦定律还可列出

综合上述两个结果可知，只有当力Q 满足以下条件时，物体才能处于平衡，即

如引入摩擦角的概念，即f＝tanϕ，上式可改写为

在此题中，如果斜面的倾角小于摩擦角，即α＜ϕ，上式左端成为负值，即Qmin为负值，这说明不需要力Q 的支持，物块就能静止在斜面上，而且无论力P 为多大，均不会破坏平衡状态。

知识归纳整理

一、知识点梳理

为了大家对所学知识能有更好的理解和掌握，利用树图形式归纳如下，仅供参考。

二、自我反思

1.学习中的收获或体会

2.工程上常用的构件变形认知