为了保证圆轴在扭转变形中不会因强度不足而发生破坏，应使圆轴横截面上的最大切应力不超过材料的许用切应力，即式称为圆轴扭转的强度条件。案例6-4 如图6-19 所示的阶梯轴，直径分别为d1=40 mm，d2=55 mm，已知C 轮输入转矩MC=1 432.5 N·m，A 轮输出转矩MA=620.8 N·m，轴的转速n=200 r/min，轴材料的许用切应力[τ]=60 MPa，试校核该轴的强度。......
2023-06-19
圆轴的扭转变形分析方法和优化措施
【摘要】：本章主要讨论圆轴扭转时应力和变形的分析计算方法，以及强度和刚度计算。杆间任意两截面间的相对角位移，称为扭转角。为了清楚地看出各截面上扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。
1.圆轴扭转的概念与实例
在工程中，常会遇到直杆因受力偶作用而发生扭转变形的情况。例如，当钳工攻螺纹孔时，两手所加的外力偶作用在丝锥杆的上端，工件的反力偶作用在丝锥杆的下端，使得丝锥杆发生扭转变形，如图3－45 所示。如图3－46 所示的汽车转向盘的操纵杆，以及一些传动轴等均是扭转变形的实例。以扭转为主要变形的构件常称为轴，其中圆轴在机械中的应用为最广。本章主要讨论圆轴扭转时应力和变形的分析计算方法，以及强度和刚度计算。
图3-45 丝锥杆
图3-46 汽车转向盘
一般扭转杆件的计算简图如图3－47 所示，其受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。其变形特点是：杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动，各纵向线都倾斜了同一个微小角度且杆轴线始终保持直线，这种变形称为扭转变形。杆间任意两截面间的相对角位移，称为扭转角。图3－47 中的φAB是截面B 相对于截面A 的扭转角。
2.扭矩和扭矩图
（1）外力偶矩的计算
为了利用截面法求出圆轴扭转时截面上的内力，要先计算出轴上的外力偶矩。作用在轴上的外力偶矩一般不是直接给出，而是根据所给定轴的传递功率和转速求出来的。功率、转速和外力偶矩之间的关系可由动力学知识导出，其公式为
图3-47 扭转及扭转角
式中，M 为外力偶矩（N·m），P 为轴传递的功率（kW），n 为轴的转速（r／min）。
（2）扭矩和扭矩图
若已知轴上作用的外力偶矩，则可用截面法研究圆轴扭转时横截面上的内力。如图3－48（a）所示，等截面圆轴AB 两端面上作用有一对平衡外力偶矩M。在任意m－m 截面处将轴分为两段，并取左段为研究对象，如图3－48（b）所示。因A 端有外力偶矩M 作用，为保持左段平衡，故在m－m 截面上必有一个内力偶矩T 与之平衡，T 称为扭矩，单位为N·m。由平衡方程
得T＝M。
若取右段为研究对象，则所得扭矩数值相同而转向相反，它们是作用与反作用的关系。
为了使不论取左段还是右段求得的扭矩的大小、符号都一致，对扭矩的正、负号规定如下：
用右手螺旋法则，大拇指指向横截面外法线方向，当扭矩的转向与四指的转向一致时，扭矩为正，反之为负，如图3－49 所示。在求扭矩时，在横截面上均按正向画出，所得为负，则说明扭矩转向与假设相反，此为设正法。
图3-48 截面法确定圆轴横截面上的扭矩
图3-49 扭矩符号的确定
当轴上作用有多个外力偶矩时，须以外力偶矩所在的截面将轴分成数段，逐段求出其扭矩。为了清楚地看出各截面上扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。作图时，以横坐标表示各横截面的位置、纵坐标表示扭矩。
（3）扭矩图的快速画法
扭矩图也可根据扭矩、扭矩图随外力偶的变化规律快速作出。
1）扭矩、扭矩图随外力偶的变化规律。
①在没有外力偶作用处，扭矩是常数，扭矩图是水平线。
②在有外力偶作用处，扭矩图有突变，突变量等于外力偶。
2）扭矩图的快速画法。
①先求出约束力偶，约束力偶与外力偶同等看待。
②以构件左端为原点，x 轴表示轴线，垂直于轴线的轴表示扭矩T。
③假设箭头向上的外力偶产生正的扭矩（扭矩图在该处垂直向上突变，突变量等于该外力偶），箭头向下的外力偶产生负的扭矩（扭矩图在该处垂直向下突变，突变量等于该外力偶），如图3－50（b）所示。
图3-50 转轴
④根据扭矩、扭矩图的变化规律画出扭矩图。
【例3-13】 如图3－50（a）所示，转轴的功率由皮带轮B 输入，齿轮A、C 输出。已知PA＝60 kW，PC＝20 kW，转速n＝630 r／min，绘制转轴的扭矩图并求最大扭矩。
解：1）计算外力偶矩，由式（3－26）得MA＝9 550PA／n＝9 550 ×60／630＝909.52（N·m），MC＝9 550PC／n＝9550 ×20／630＝303.17（N·m）因为ΣM＝0，所以
2）用扭矩图的快速画法画出转轴的扭矩图，如图3－50（b）所示。
3）求最大扭矩。由图3－50（b）扭矩图可知：最大扭矩在AB 段内，且绝对值为
＝909.52 N·m。
3.圆轴扭转时横截面的应力计算
（1）圆轴扭转时横截面上的应力
应力与变形有关，如图3－51 所示，先在一个未加载荷的圆轴上画上间隔均匀的横向线和纵向线，然后加载使其发生扭转变形，可以发现：各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化，各圆周线绕轴线转到了不同的角度，所有纵向线都倾斜了同一个角度γ。
图3-51 圆轴扭转变形
（a）变形前；（b）变形后
由上述现象可以看出：圆轴扭转变形后轴的横截面仍保持平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。由此可以得出：
1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有发生纵向变形，所以横截面上没有正应力。
2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度，所以横截面上有剪应力，其方向必垂直于半径。
圆轴扭转时，横截面上距离圆心为ρ 处的剪应力
ρ 的一般公式为
式中，T 为扭矩（N·m），IP 为横截面的极惯性矩（m4），ρ 为从欲求剪应力的点到横截面圆心的距离。
显然，当ρ＝0 时，
ρ＝0；当ρ＝D／2 时，剪应力最大，
，D 为圆柱直径。
扭转变形时，横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，如图3－52所示。
令WP＝2IP／D，则有
式中，WP 为抗扭截面系数（m3）。
（2）极惯性矩和抗扭截面系数
1）实心圆截面。
对于直径为D 的实心圆截面，取一距离圆心为ρ、厚度为dρ 的圆环作为微面积dA，如图3－53（a）所示，则
图3-52 剪应力分布示意图
（a）实心圆截面剪应力分布；（b）空心圆截面剪应力分布
图3-53 极惯性矩的计算
（a）实心圆截面；（b）空心圆截面
于是
所以
2）空心圆截面。
对于内径为d、外径为D 的空心圆截面，如图3－53（b）所示，其极惯性矩可以采用与实心圆截面相同的方法求出，即
式中，α＝
，表示内、外径的比值。
4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
（1）圆轴扭转时的强度计算
为保证圆轴扭转时具有足够的强度而不被破坏，必须限制轴的最大剪应力不得超过材料的扭转许用剪应力。对于等截面圆轴，其最大剪应力发生在扭矩值最大的横截面（称为危险截面）的外边缘处，故圆轴扭转的强度条件为
式中，扭转许用剪应力是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的。
与拉压强度问题相似，式（3－33）可以解决强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷等3 种扭转强度问题。
【例3-14】 阶梯轴如图3－54 所示，M1＝5 kN·m，M2＝3.2 kN·m，M3＝1.8 kN·m，材料的许用切应力［
］＝60 MPa。试校核该轴的强度。
解：1）作扭矩图。用扭矩图快速画法作出扭矩图，如图3－54（b）所示，可得TAB＝－5 kN·m，TBC＝－1.8 kN·m。
2）校核轴的强度。因AB、BC 段的扭矩、直径各不相同，故需分别校核。
AB 段：
图3-54 阶梯轴
故AB 段的强度是安全的。
BC 段：
故BC 段的强度不够。
综上所述，阶梯轴的强度不够。
在求
max时，T 取绝对值，其正、负号（转向）对强度计算无影响。
（2）圆轴扭转时的刚度计算
如前所述，圆轴扭转时的变形是用扭转角来度量的。扭转角就是圆轴扭转时，横截面绕轴线相对转过的角度φ，其计算公式为
为了消除轴的长度对扭转角的影响，可采用单位长度内的扭转角θ 来度量轴的扭转变形，即
轴类零件工作时，除应满足强度条件外，经常还有刚度要求，即不允许有较大的扭转变形。通常以下列表示式为其刚度条件，即
式中，θmax为最大单位长度扭转角（rad／m）；Tmax为圆轴上的最大扭矩（N·m）；［θ］为许用单位长度扭转角，习惯上以度／米为单位，记为（°）／m，故在使用式（3－36）时，要将θmax的单位换算成（°）／m，则式（3－36）变为
不同类型轴的扭转角［θ］的值，可从有关工程手册中查得。
【例3-15】 一传动轴，承受的最大扭矩Tmax＝183.6 N·m，按强度条件设计的直径为d＝31.5 mm。若已知G＝80 GPa，［θ］＝1°／m，试求校核轴是否满足刚度要求。若刚度不足，则重新设计轴的直径。
解：1）校核轴的刚度。因
所以，不满足刚度要求。
2）按刚度条件再设计轴的直径。由
所以，取d＝34 mm。
有关机械基础的文章
- 详细阅读
-
圆轴扭转的强度条件优化探讨详细阅读
圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力τmax不得超过材料的许用切应力[τ]，即式称为圆轴扭转时的强度条件。对于等截面圆轴，从轴的受力情况或由扭矩图可以确定最大扭矩Tmax，最大切应力τmax发生于Tmax所在截面的边缘上。因而强度条件可改写为对于变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，Wt不是常量，τmax并不一定发生在扭矩为极值Tmax的截面上，这要综合考虑扭矩T和抗扭截面系数Wt两者的变化情况来确定τmax。......
2023-06-16
-
圆轴扭转的刚度条件优化探究详细阅读
用φ表示单位长度扭转角，有为保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值不得超过许用单位长度扭转角[φ]，即式称为圆轴扭转时的刚度条件。可见，刚度条件是4轴的控制因素。由于刚度是大多数机床的主要矛盾，所以用刚度作为控制因素的轴是相当普遍的。......
2023-06-16
-
圆轴扭转：概念解析和应用探讨详细阅读
在日常生活及工程实际中，有很多承受扭转的构件。以扭转变形为主的构件称为轴。在生产实际中圆轴用得较多，本章只研究圆轴的扭转问题。图6-2汽车转向轴图6-3丝锥钻杆图6-4钻探机钻杆汽车方向盘图6-5汽轮机带动发电机转动图6-6电动机带动传动轴转动在两外力偶作用下，轴产生扭转变形，其中杆件任意两截面间相对转动的角度称为扭转角，用φ 表示。......
2023-06-19
-
圆轴扭转时横截面切应力优化详细阅读
增加动画图6-12圆轴扭转变形试验按照平面假设，可得以下推论：横截面上无正应力。横截面上有切应力。因扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动，截面上各点相对错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。实心圆轴与空心圆轴横截面上切应力分布如图6-14 所示。......
2023-06-19
-
建筑力学第3版：圆杆扭转变形和刚度条件详细阅读
GIP称为杆件的抗扭刚度，它反映杆件抵抗扭转变形的能力。由得按刚度条件确定d。要使轴同时满足强度和刚度条件，需取轴的直径d＝52mm。......
2023-08-26
-
圆轴扭转内力扭矩-建筑力学（第3版）详细阅读
在对圆轴进行强度计算之前先要计算出圆轴横截面上的内力——扭矩。根据平衡条件可知，C截面上必存在一个内力偶矩T，与外力偶矩m使左半部保持平衡。此内力偶矩称为扭矩，用T表示。扭矩的单位与力矩相同，常用N·m或kN·m。图8-12与计算轴力的方法类似，用截面法计算扭矩时，通常假定扭矩为正。用截面法分别求出各段上的扭矩。......
2023-08-26
-
圆轴扭转剪应力分布-《建筑力学（第3版）》详细阅读
为解决圆轴扭转的强度问题，在求得横截面上的扭矩之后，还要进一步研究横截面上的应力。在整个横截面上，所有这些微力矩之和应等于该截面的扭矩T，因此将式代入得积分即为横截面的极惯性矩，因而式可改写为将式代入式得这就是圆轴扭转时横截面上的剪应力计算公式。式中，T为横截面上的扭矩；IP为圆截面对圆心的极惯性矩；ρ为所求应力点至圆心的距离。因这里的剪应力正、负无实用意义，一般只计算其绝对值。......
2023-08-26
相关推荐