杆件轴向拉伸与压缩分析

2023-06-26 理论教育版权反馈

【摘要】：这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。图3-30简易吊车图3-31液压传动中的活塞图3-32拉、压杆力学简图2.杆件轴向拉伸与压缩的内力和应力内力构件工作时承受的载荷、自重和约束力，都称为构件上的外力。由于外力F 的作用线沿着杆的轴线，内力FN 的作用线也通过杆的轴线，故在轴向拉伸或压缩时，杆件的内力称为轴力。据此现象可设想，杆件

1.杆件轴向拉伸与压缩的概念

在工程实际中，许多构件承受拉力和压力的作用。图3－30 所示为一简易吊车，忽略自重，AB，BC 两杆均为二力杆；BC 杆在通过轴线的拉力的作用下，沿杆轴线发生拉伸变形；而AB 杆则在通过轴线的压力的作用下，沿杆轴线发生压缩变形。再如液压传动中的活塞杆，在油压和工作阻力的作用下受拉，如图3－31 所示。此外，拉床的拉刀在拉削工件时，都承受拉伸；千斤顶的螺杆在顶重物时，则承受压缩。

这些受拉或受压的杆件的结构形式虽各有差异，加载方式也并不相同，但若把杆件形状和受力情况进行简化，都可以画成图3－32 所示的计算简图。这类杆件的受力特点是：杆件承受外力的作用线与杆件轴线重合；变形特点是：杆件沿轴线方向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。

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图3-30　简易吊车

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图3-31　液压传动中的活塞

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图3-32　拉、压杆力学简图

2.杆件轴向拉伸与压缩的内力和应力

（1）内力

构件工作时承受的载荷、自重和约束力，都称为构件上的外力。构件在外力作用下产生变形，即构件内部材料微粒之间的相对位置发生了改变，则它们相互之间的作用力发生了改变。这种由外力作用而引起的构件内部的相互作用力，称为内力。

构件横截面上的内力随外力和变形的增加而增大，但内力的增大是有限度的，若超过某一限度，构件就不能正常工作，甚至被破坏。为了保证构件在外力作用下安全、可靠工作，必须弄清内力的分布规律，因此对各种基本变形的研究都是首先从内力分析着手的。

（2）截面法

将杆件假想地切开以显示内力，并由平衡条件建立内力与外力的关系或由外力确定内力的方法，称为截面法，它是分析杆件内力的一般方法。其过程可归纳为4 个步骤：

1）截在需求内力的截面处，假想地将杆件截成两部分。

2）任取一段（一般取受力情况较简单的部分）为研究对象。

3）在截面上用内力代替截掉部分对该段的作用。

4）对所研究的部分建立平衡方程，求出截面上的未知内力。

（3）轴力与轴力图

1）轴与轴力图的概念。

如图3－33（a）所示，两端受轴向拉力F 的杆件，为了求任一横截面1－1 上的内力，可采用截面法，即假想用与杆件轴线垂直的平面在1－1 截面处将杆件截开；取左段为研究对象，用分布内力的合力FN 来替代右段对左段的作用，如图3－33（b）所示，建立平衡方程，可得

若取杆件右端来研究，如图3－33（c）所示，则其结果相同。

由于外力F 的作用线沿着杆的轴线，内力FN 的作用线也通过杆的轴线，故在轴向拉伸或压缩时，杆件的内力称为轴力。显然，轴力可以是拉力，也可以是压力。为了便于区别，规定拉力以正号表示，压力以负号表示。

实际问题中，杆件所受外力可能很复杂，这时直杆各横截面上的轴力将不相同，如FN 将是横截面位置坐标x 的函数，即

用平行于杆件轴线的x 坐标表示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的FN 坐标表示对应横截面上的轴力，这样画出的函数图形称为轴力图。

【例3-9】　等截面直杆AD 受力如图3－34（a）所示。已知F1＝16 kN，F2＝10 kN，F3＝20 kN，试画出直杆AD 的轴力图。

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图3-33　截面法求轴力

（a）拉伸杆件；（b）左段分析；（c）右段分析

解：1）计算支反力。

设杆的支反力为FD，由整体受力图建立平衡方程得

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画出直杆AD 的受力图，如图3－34（b）所示。

2）分段计算轴力。

由于在横截面B 和C 处作用有外力，故应将杆分为AB、BC 和CD 3 段，逐段计算轴力。利用截面法，在AB 段的任一截面1－1 处将杆截开，并选择右段为研究对象，其受力情况如图3－34（c）所示。由平衡方程

得AB 段的轴力为

对于BC 段，仍用截面法，在任一截面2－2处将杆截开，并选择右段研究其平衡，如图3－34（d）所示，BC 段的轴力为

为了计算BC 段的轴力，同样也可选择截开后的左段为研究对象，如图3－34（e）所示，由该段的平衡条件得

对于CD 段，在任一截面3－3 处将杆截开，显然取左段为研究对象计算较简单，如图3－34（f）所示。由该段的平衡条件得

所得FN3为负值，说明FN3 的实际方向与所假设的方向相反，即应为压力。

3）画轴力图。根据所求得的轴力值画出轴力图，如图3－34（g）所示。由轴力图可以看出，轴力的最大值为16 kN，发生在AB 段内。

（3）轴力图的快速画法

轴力图也可根据轴力、轴力图随外力的变化规律快速作图。

1）轴力、轴力图随外力的变化规律。

①在没有外力作用处，轴力是常数，轴力图是水平线。

②在有外力作用处，轴力图有突变，突变量等于外力。

2）轴力图的画法。

①先求出约束反力，约束反力与外力同等看待，画出杆件的受力图，如图3－34（b）所示。

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图3-34　杆的轴力分析

②以构件左端为原点，x 轴表示为构件轴线，垂直于杆轴线的表示轴力FN。

③假设向左的外力产生正的轴力（轴力图在该处垂直向上突变，突变量等于外力），向右的外力产生负的轴力（轴力图在该处垂直向下突变，突变量等于外力）。

④根据轴力、轴力图的变化规律画出轴力图，如图3－34（g）所示。

（4）杆件拉（压）杆横截面上的应力

1）应力的概念。确定了轴力后，单凭轴力并不能判断杆件的强度是否足够。杆件的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面积的大小有关，即取决于内力在横截面上分布的密集程度。内力在横截面上的密集度称为应力。如果内力在截面上均匀分布，则应力就是单位面积上的内力。其中，垂直于截面的应力称为正应力，以σ 表示；平行于截面的应力称为切应力（剪应力），以 pagenumber_ebook=135,pagenumber_book=130 表示。应力的单位为帕斯卡，符号为Pa（1 Pa＝1 N／m2），由于此单位较小，故常采用兆帕（MPa）或吉帕（GPa）（1 MPa＝106 Pa，1 GPa＝109 Pa）。

2）拉（压）杆横截面上的应力。为了求得横截面上任意一点的应力，必须了解内力在横截面上的分布规律，为此可通过实验来分析研究。取一等直杆，在杆上画上与杆轴线平行的纵向线和与它垂直的横线，如图3－35（a）所示。

在两端施加一对轴向拉力F 之后，可以发现所有纵向线的伸长都相等，而横向线仍保持为直线，并与纵向线垂直，如图3－35（b）所示。据此现象可设想，杆件由无数纵向纤维所组成，且每根纵向纤维都受到同样的拉伸。假设在变形过程中，横截面始终保持为平面（即平面假设），根据材料的均匀连续性假设可推知，横截面上各点处纵向纤维的变形相同，受力也相同，即内力在横截面上是均匀分布的，且与横截面垂直，如图3－35（c）所示。

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图3-35　拉伸应力

设杆件横截面的面积为A，轴力为FN，则根据上述假设可知，横截面上各点处的正应力均为

式中，FN 为横截面的轴力（N）；A 为横截面积（mm2）。

3.杆线轴向拉伸和压缩的强度计算

（1）极限应力、许用应力、安全系数

试验表明，塑性材料的应力达到屈服强度σs（σ0.2）后，产生显著的塑性变形，影响构件的正常工作；当脆性材料的应力达到抗拉强度或抗压强度时，发生脆性断裂破坏。构件工作时，发生显著的塑性变形或断裂都是不允许的，通常将发生显著的塑性变形或断裂时的应力称为材料的极限应力，用σu 表示。对于塑性材料，取σu＝σs（σu＝σ0.2）；对于脆性材料，取σu＝σb。