电阻率法作为一种方便、无损、低廉的方法在岩土工程中的研究应用已经受到学者们的重视。这些研究成果表明，土体的电阻率特性主要取决于土体的类型、成分以及其他一些基本物理特性。于小军、刘松玉探讨了电阻率测试技术在水泥土深层搅拌法中的应用。董晓强等把电阻率法推广至交流阻抗法，来研究粉土的基本阻抗参数同含水量的关系，并得到预测含水量的关系式。......
2023-06-26
岩土电阻率理论的发展与应用
【摘要】：David Huntley指出土的电阻率受土粒电阻率、孔隙液电阻率、基质电阻率的综合影响，基质电阻率影响主要受表面传导的影响。至此，土的电阻率理论基本形成并逐渐完善。M.Fukue提出黏土电阻率结构模型理论，并指出运用此模型可描述黏土的微观结构。
1.2.1.1 电阻率结构模型的发展
Sundberg （1932）把饱和岩土体的电阻率和孔隙水的电阻率比值定义为电阻率因子，并建立了它和孔隙率之间的假设关系。Archie（1942）提出了一个强有力的经典理论来支持这种关系，它把土体的电阻率和孔隙水的电阻率比值定义为电阻率结构因子或者结构因子F，是因为它取决于岩土体的结构特性，即：
式中：ρ0、ρw 分别为土、孔隙水的电阻率；n为孔隙率；f为胶结系数。
这就是著名的Archie第一定律。它经常被写为：
式中：A0为常数，由土、岩石类型决定。
Archie第一定律适用于饱和无黏性土。
Moussean和Trump （1967）最先提出了一个土各向异性因子A′概念，可度量悬液介质电传导的各向异性情况：
Arulanandan和Kutter（1978）提出了一个类似的系数——各向异性指数A，A可反映颗粒的定向排列情况：
David Huntley（1987）、Worthington（1993）通过对含黏粒的砂性土的研究，修正了Archie结构因子概念，在Waxman和Smits（1968）研究的基础上，提出了表观结构因子——Fa概念，其值为土电阻率与孔隙液电阻率之比。David Huntley（1987）指出土的电阻率受土粒电阻率、孔隙液电阻率、基质电阻率的综合影响，基质电阻率影响主要受表面传导的影响。Worthington（1993）指出了土的表观结构因子Fa和结构因子F的关系式为：
式中：BQv与表面传导影响有关，主要指黏土颗粒的影响，当表面传导影响忽略不计时，Fa＝F；Qv为土体的阳离子交换容量 （CEC）；B为单位交换性阳离子使黏土颗粒导电性改变的变化量，根据Waxman和Smits（1968）的研究表明，它与孔隙水的电阻率密切相关，表示为：
Tumidajski（1996）对水泥胶结系统的结构因子F、f进行了探索，定义多孔、颗粒电导可忽略不计的水泥胶结系统的结构因子：
式中：ρ为电阻率；σ为电导率；D为扩散率。
同时，Tumidajski还指出当表面传导不显著时，F唯一地由孔隙率和胶凝体的孔隙结构所决定。孔隙结构主要指收缩膨胀性、定向性、弯曲性。另外，他建立了一个基于Archie公式的水泥胶结系统的电阻率结构模型：
或写成：
式中：n为孔隙率；f为形状因子，也可称胶结系数；τ为弯曲度；δ为扩散率，对于一定区域的土，τ和δ为常数。
通过试验得出：水泥浆f＝2.55，砂浆f＝2.14。
Pabitra N.sen等（1997）对Archie模型进行了修正，建立了一个非饱和土的电阻率结构模型：
式中：Sr为饱和度；f为形状因子；n为孔隙率；h为土常数。
另外，还有不少专家研究得到了不同土f的取值范围。粒状土，f＝1.3～2.4，硅酸盐岩石，f＝1.5～5.4；黏性土，f＝1.8～3；水泥胶结系统，水泥浆f＝2.55，砂浆f＝2.14；膨胀土f＝1.84。
至此，土的电阻率理论基本形成并逐渐完善。很多学者在以上理论的基础上，进行了许多试验，取得了以下成果。
Waxman等（1968）考虑到土颗粒表面导电性对整个土体电阻率的影响，假定土的导电是通过由土颗粒与孔隙水两个导体并联组成的整个导体的导电来完成，如图1.1 （a）所示，在试验研究的基础上提出了适用于非饱和黏性土的电阻率模型，如图1.1 （b）所示。
图1.1 土的导电模型 （引自Waxman等， 1968.）
式中：α为试验参数；ρw 为孔隙水电阻率；n为孔隙率；m为胶结系数；Sr为饱和度；p为饱和度指数；B为双电层中与土颗粒表面电性相反电荷的电导率；Q为单位土体孔隙中阳离子交换容量；BQ 为土颗粒表面双电层的电导率，1（/Ω·m），即S/m。
M.Fukue（1999）提出黏土电阻率结构模型理论，并指出运用此模型可描述黏土的微观结构。Fukue指出黏土的电阻率结构模型由两部分组成：串联部分和并联部分，串、并联部分均由三相介质——液相、固相、气相组成。模型如图1.2所示。模型中把串联与并联部分长度的比值定义为结构因子F，F可能取决于土颗粒的排列和颗粒的形状。
刘国华（2004）依据大量试验数据，分析了土的电阻率与土的基本物理指标之间的相关性，建立了一个基于推广Archie公式的地区性黏土电阻率结构模型（见图1.3），经电阻率层析成像结果证明此模型的有效性：
图1.2 黏土电阻率结构模型 （引自M.Fukue等， 1999）
式中：n为孔隙率；Sr为饱和度。
图1.3 地区性黏土的电阻率模型 （引自刘国华等， 2004）
于小军、刘松玉（2004）建立了合肥膨胀土电阻率结构模型（见图1.4）：
缪林昌等（2007）通过对重塑膨胀土的电阻率进行测试研究，提出了一种饱和/非饱和土的假想电阻率模型，如图1.5和图1.6所示。
查甫生、刘松玉、杜延军等借鉴Mitchell土的三元土导电模型 （图1.7），在假定黏性土的导电分为3种途径的基础上，推导出非饱和黏性土的电阻率结构模型公式：
图1.4 膨胀土电阻率模型 （引自于小军， 2004）
图1.5 饱和土的假想电阻率模型（引自缪林昌等， 2007）
图1.6 非饱和土的假想电阻率模型（引自缪林昌等， 2007）
图1.7 三元土导电模型示意图 （引自Mitchell， 1993）
式中：ρ为实测土电阻率；ρw 为孔隙水电阻率；n为孔隙率；Sr为饱和度；F′为导电结构系数，即非饱和土中土—水串联组成的路径的宽度与整个土体边长之比；θ为土水并联部分的水—土体积比；θ′为土水串联部分的水—土体积比；B为双电层中与土颗粒表面电性相反电荷的电导率；Q为单位土体孔隙中阳离子交换容量；BQ为土颗粒表面双电层的电导率，1（/Ω·m），即S/m。
周仲华、郑龙等（2009）结合改进的Archie模型，建立了交河故城土遗址墙体夯土电阻率模型：
式中：K为土的综合结构参数；w为土的含水量；b为土性参数；T为温度；α为试验常数，约为0.025℃。
1.2.1.2 电阻率结构参数的相关原理
Arulanandan和Muraleetharan（1988）、Arulanandan（1991）、Thevanayagam（1993）通过理论推导，提出了土电阻率模型理论的相关原理，找到了平均结构因子
、Archie经典相关式中的f概念提出的理论依据，揭示出F、f的张量特性，提出交流电场下的f取决于土的电导率、介电常数、颗粒形状、频率，与颗粒的排列无关；沿3个正交坐标的F仅依赖于土的几何、物理特性和频率，明确了电阻率结构参数的电学含义。于小军进行了以下的系统总结和阐述。
图1.8 土颗粒定位
（1）F、f的相关原理及确切含义。
一般认为土颗粒呈椭球体，半轴为a、b、c，它在直角坐标系X、Y、Z （或1、2、3）中可通过夹角θ1、θ2、θ3定位，土颗粒椭球体的坐标为a、b、c，如图1.8所示。
定义外部电场为E，E 沿X、Y、Z （1、2、3）轴的分量分别为E1、E2、E3，沿a、b、c轴的分量分别为Ea、Eb、Ec，则
电势应满足拉普拉斯方程式▽2φ′＝0，通过求解拉普拉斯方程式，可得到
此处，k1、k2分别为孔隙液、固相介质的电导率和介电常数的综合函数。
式中：σ为电导率；εi为介电常数；ω为施加电场的角频率，rad/s。Aα一般通解为：
此处λ为一变量；Aa＋Ab＋Ac＝1。把公式 （1.20）代入式 （1.17），可求得土颗粒内部电场
式中：i′、j′、k′分别为坐标a、b、c方向上的单位向量；E′a、E′b、E′c分别为坐标a、b、c方向上的土颗粒椭球体内部电场。
通过式（1.21）、式（1.22）和方向余弦，土颗粒椭球体内部电场与施加电场关系式为：
下标θ指的是土颗粒的定位夹角θ1、θ2、θ3。从上可知fθij是一张量。
因外加电场下电场强度的体积积分应等于电势，则
式中：Vi为电势在1、2、3 （X、Y、Z）坐标轴上的分量。考虑电场下电流，则可得方程式：
对于稀松颗粒聚合体，结合式 （1.24）、式 （1.25）、式 （1.26）、式（1.27），对式（1.25）进行积分，则可得：
对式（1.26）进行积分，可得式（1.29），即：
联合式（1.28）、式（1.29），消掉Ei、Vi，可推导出式（1.30），即：
式中：k为电导率、介电常数的综合函数，见式（1.16）。定义：
则有：
式（1.30）、式（1.31）、式（1.32）包括了所有可能的介质，此模型也显示了结构因子F是一张量。
对于不导电、不极化、饱和的土颗粒所组成的聚合土体，Fθij满足式（1.33），即：
土颗粒以任意角θi定位的概率密度函数为pi（θi），θ1，θ2，θ3角度变化范围分别为0～2π、0～π/2、0～π。pi（θi）是3个描述土颗粒位置的独立分量，且满足式（1.34）：
忽略土颗粒之间的电干扰，则对所有的θ角，Fθij的期望值Fij为：
式中：kij为kθij的期望值。
一般而言，fij（Fij）取决于颗粒的定向分布pi、颗粒形状Aα、ε1、ε2、ω及电场方向。
从式（1.18）、式 （1.19）、式 （1.20）可知，fa、fb、fc取决于土的电特性（电导率σ、介电常数ε）、颗粒的形状Aα、ω，它与颗粒的排列无关，这就表明沿着3个正交坐标的F平均值是不变量，它仅依赖于土的几何、物理特性和角频率。
从上可见，fσα取决于（σ1、σ2）和颗粒形状，那么对于不导电、不极化的颗粒σ2＝0，则有：
从上可知，Fij取决于颗粒形状、颗粒排列和孔隙率。
对于水平向同性的土，式 （1.38）、式 （1.39）可转化为式 （1.41）和式（1.42），即：
Arulanandan和Muraleetheran （1988）推出针对紧密颗粒的聚合体，有：
另外，Arulanandan和Muraleetheran （1988）指出通过对式 （1.21）、式（1.22）求解，可知Ab只取决于椭球体b与a之比，令R＝b/a。对于一扁平椭球体，a＞b＝c
对于一扁圆椭球体，a＜b＝c，有：
（2）A的相关原理及确切含义。
在Moussean和Trump（1967）、Arulanandan和Kutter（1978）研究的基础上，Arulanandan和Muraleetharan （1988）、Arulanandan （1991）、Thevanayagam（1993）应用式 （1.18）、式 （1.20）、式 （1.41）～式 （1.45）推出了水平向同性的土的各向异性指数A值只取决于孔隙率n、定向角θ及椭球体b/a之比的结论。
首先确定一直角坐标轴，X、Y 代表水平轴，Z代表竖直轴，假定土水平向同性，竖轴是对称轴，X、Y、Z是电导的主要方向。则欧姆定律可写成：
式中：J为电流密度；φ为电势；i、j、k分别为X、Y、Z轴单位向量。
由于电流连续，则有：
当各向同性时，βH＝βV，式 （1.49）就变成拉普拉斯方程。引进坐标轴U、V、W，令U＝X，V＝Y，W ＝λZ，此处
则式（1.49）可转化成式（1.51），即：
则显示在（U，V，W）空间，水平、竖向异性情况下，电势满足拉普拉斯方程，正如电势在各向同性情况下，在 （X，Y，Z）空间满足拉普拉斯方程一样。当A′渐趋于1时，水平、竖向异性情况就渐趋于各向同性情况。因此，A′可度量悬液介质电导的水平、竖向异性情况。
Arulanandan和Kutter（1978）提出了一个类似的系数——各向异性指数A，令：
Arulanandan 和 Muraleetharan （1988）、Arulanandan （1991）、Thevanayagam （1993）应用上面式 （1.41）～式 （1.47）、式 （1.52）推出低频下水平向同性土的A是孔隙率n、土颗粒形状b/a、定向角θ的函数。具体公式如下：
式中：n为孔隙率；p（θ）为定向角θ的概率密度函数，0≤θ≤π/2；Ab为b/a的函数，详见式（1.46）、式（1.47）。
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