典型系统参数及性能指标优化

2023-06-25 理论教育版权反馈

【摘要】：2）典型Ⅰ型系统的稳态跟随性能典型Ⅰ型系统的稳态跟随性能是指在给定输入信号下的稳态误差。

1.典型Ⅰ型系统及其参数与性能指标

1）典型Ⅰ型系统

典型Ⅰ型系统如图3-9所示，其开环传递函数为

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图3-9　典型Ⅰ型系统

由图3-9可见，典型Ⅰ型系统是由一个积分环节和一个惯性环节串联组成的闭环反馈系统。在开环传递函数中，时间常数T往往是控制对象本身所固有的，唯一可变的参数只有开环增益K，因此，可供设计选择的参数只有K，一旦K值选定，系统的性能就被确定了。

2）典型Ⅰ型系统的稳态跟随性能

典型Ⅰ型系统的稳态跟随性能是指在给定输入信号下的稳态误差。由控制理论误差分析可知，典型Ⅰ型系统对阶跃给定信号的稳态误差为零；对单位斜坡输入信号的稳态误差不为零，即有跟踪误差

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上式表明，开环增益K增大时，跟踪误差将减小。

3）典型Ⅰ型系统的动态性能

由图3-9可得典型Ⅰ型系统的闭环传递函数为

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当阻尼比为0＜ξ＜1时，在零初始条件下的阶跃响应动态性能指标计算公式为：

超调量

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调节时间

截止频率

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相角裕量

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其动态指标与K和ξ的关系如表3-1所示。

表3-1　典型Ⅰ型系统动态性能指标与系统参数的关系

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具体选择参数时，如果生产工艺主要要求动态响应快，可取ξ=0.5～0.6，把K选大一些；如果主要要求超调小，可取ξ=0.8～1.0，把K选小一些；如果要求无超调，则取ξ=1.0，K=0.25/T；无特殊要求时，可取折中值，即ξ=0.707，K=0.5/T，此时略有超调（σ=4.3%）。也可能出现这种情况：无论怎样选择K值，总是顾此失彼，不可能满足所需的全部性能指标，这说明典型Ⅰ型系统不适用，需采用其他控制方法。

上述折中的ξ=0.707、KT=0.5的参数关系就是西门子“最佳整定”方法的“最佳系统”，或称“二阶最佳系统”，其实这只是折中的参数选择，无所谓“最佳”。真正的最佳参数是随生产工艺要求性能指标的不同而变的。

2.典型Ⅱ型系统及其参数与性能指标的关系

1）典型Ⅱ型系统

典型Ⅱ型系统的开环传递函数如下

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h表示了在对数坐标中斜率为-20 dB/dec的中频段的宽度，称作“中频宽”。由于中频段的状况对控制系统的动态品质起决定性的作用，因此h值是一个很关键的参数。

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图3-10　典型Ⅱ型系统结构图和开环对数幅频特性

在图3-10中，若设ω=1点处是-40 dB/dec特性段，则

因此

从频率特性上可见，由于T一定，改变τ就等于改变了中频宽h；在τ确定以后再改变K，相当于使开环对数幅频特性上下平移，从而改变了截止频率ωc。因此在设计调节器时，选择两个参数h和ωc，就相当于选择参数τ和K。

2）典型Ⅱ型系统性能指标与参数的关系

典型Ⅱ型系统的性能指标通常用三种方法描述：以相角裕量为基准的“最大γ（ωc）法”；以闭环谐振峰值为基准的“最小Mp法”；在第一种方法中令h=4或在第二种方法中令h=5时得到的“三阶工程最佳设计法”。

按“最大γ（ωc）法”选择参数时，截止频率

它处在对数幅频特性横轴上ω1与ω2的几何中点，由式（3-13）、式（3-14）和式（3-15）得“最大γ（ωc）法”的参数关系为

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若取h=4，则

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图3-11　闭环系统的幅频特性

式（3-17）是“三阶工程最佳”的结论。

“最小Mp法”是根据最小振荡指标，由闭环频率特性推导的。

反馈控制系统的闭环幅频特性如图3-11所示，其中振荡峰值用Mp表示。可以证明，对于典型Ⅱ型系统，当截止频率ωc符合下列关系式时，对应的Mp最小，称为“最佳频比”，此时系统相对稳定性最好。关系式为

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这时最小的Mp值与h有简单的关系

开环放大倍数

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则按“最小Mp法”设计的典型Ⅱ型系统的参数关系为

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取h=5，则

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式（3-22）被称为按“最小Mp法”设计的“三阶工程最佳”参数。

由式（3-19）可知，按“最小Mp法”设计的系统参数与按“最大γ（ωc）法”设计的系统参数区别在于ωc的位置不同。“最小Mp法”对应的截止频率ωc不在中频段的几何中点，而是稍偏右。实际工程应用与分析均证明“最小Mp法”计算公式较简单，参数调整的趋势明确，而且系统的动态性能也较优越。

按“最小Mp法”设计的典型Ⅱ型系统的开环传递函数为

闭环传递函数

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对式（3-23）取不同的h值，求单位阶跃响应，得典型Ⅱ型系统的跟随性能指标，如表3-2所示。

表3-2　典型Ⅱ型系统的跟随性能指标（最小Mp）

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从表3-2可知：

h=4时

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h=5时

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h值越大，超调量越小，但当h＞5后调节时间又将增加。因此，除非对快速性没有要求，否则只能取h=4或h=5。一般把h=5定义为按“最小Mp法”设计的“三阶工程最佳”参数配置。

3.控制对象的工程近似处理方法

实际控制系统的传递函数是各种各样的，往往不能简单地校正成典型系统，这就需要在校正成典型系统前先对系统做出近似处理，下面讨论几种实际控制对象的工程近似处理方法。

1）高频段小惯性环节的近似处理

当高频段有多个小时间常数T1、T2、T3、…的小惯性环节时，可以等效地用一个小时间常数T的惯性环节来代替。其等效时间常数T为

考察一个有两个高频段小惯性环节的开环传递函数

式中：T1、T2为小时间常数。

它的频率特性为

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式（3-26）和式（3-27）近似相等的条件是T1T2ω2≪1。

在工程计算中，一般允许有10%以内的误差，因此上面的近似条件可以写成

或允许频带为

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