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【摘要】：学习目标了解拉普拉斯反变换解决问题的方法；熟悉拉氏反变换中常用的分解定理；学会查表求原函数。由已知的象函数求出相应的原函数，这种运算称为拉氏反变换。拉氏反变换涉及到计算一个复时域函数的积分，一般解题步骤都比较复杂。检验学习结果在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？
学习目标
了解拉普拉斯反变换解决问题的方法；熟悉拉氏反变换中常用的分解定理；学会查表求原函数。
由已知的象函数求出相应的原函数，这种运算称为拉氏反变换。拉氏反变换涉及到计算一个复时域函数的积分，一般解题步骤都比较复杂。虽然利用表12.1可以方便地找出一些常用复频域函数的原函数，但表中列出的形式并非都正好是待求线性电路的象函数或原函数，因此仅靠查表求原函数显然不行。本节向大家介绍一个通用的拉氏反变换的求解方法，这种方法可以把任何一个有理函数分解成许多简单项之和，而这些简单项都可以从拉氏变换表中查到，因此给拉氏反变换带来了极大的方便。这种方法称为分解定理，是进行拉氏反变换的主要方法。
用分解定理展开有理分式F（s）时，第一步是把有理分式化成真分式。若
把F（s）分解成若干简单项之和时，需要对分母多项式作因式分解，求出F2（s）的根。F2（s）的根可以是单根、共轭复根和重根三种情况，下面逐一讨论。
1.F2（s）=0有n个单根
设n个单根分别为p1、p2、…、pn，于是F2（s）可以展开为
其中k1、k2、k3、…、kn为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以（s-p1），得
令s=p1，则等式除右边第一项外都变为零，即可求得
所以求待定系数ki的公式为
另外，把式（12.6）两边同乘以 （s-pi），再令s→pi，然后引用数学中的罗比塔法则，则有
因此，求待定系数ki的另一公式为
确定了待定系数后，对应的原函数为
解：因为F1=4s+5，F2=s2+5s+6，F′2（s）=2s+5
由于F2（s）=0的根为p1=-2，p2=-3，所以有
2.F2（s）=0有共轭复根
设共轭复根为p1=α+jω，p2=α-jω，则
显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1|ejθ1，k2=|k1|e-jθ1，则有
解：由于F2（s）=0的根p1=-1+j2，p2=-1-j2为共轭复根，所以
可求得原函数为
3.F2（s）=0具有重根
设p1为F2（s）=0的双重根，pi为其余单根（i从2开始），则F（s）可分解为
对于单根，仍采用前面的方法计算。要确定k11、k12，将式 （10.5）两边同乘 （sp1）2，即
则k11被单独分离出来，得
再对式（12.8）两边对s求一次导数，k12被单独分离出来，得
如果F2（s）=0具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即有
解：令F2（s）=0时，有p1=-1两重根和p2=-2单根，所以
系数k11、k2可以按照前面的方法求得为
按照式（12.9）可以求得k12，即
则象函数为
查拉氏变换表得原函数为
检验学习结果
在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？
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