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2023-06-15
拉普拉斯变换的基本概念与理解
【摘要】：学习目标了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、象函数的概念。式 称为拉氏变换的定义式，其作用就是将一个时域函数变换为一个复频域函数，它又可简记为其中L[]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般是时间函数，其拉普拉斯变换都是存在的。式 右边的积分为有限值，其中的e-st称为收敛因子。检验学习结果12.1.1 何谓拉普拉斯变换？何谓拉普拉斯反变换？
学习目标
了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、象函数的概念。
拉普拉斯变换是研究线性时不变系统的一种数学工具，它可将时域函数f（t）变换为频域函数F（s）。只要f（t）在区间[0，∞]有定义，则有
式 （12.1）左边的F（s）称为复频域函数，是时域函数f（t）的拉氏变换，F（s）也叫做f（t）的象函数。式 （12.1）称为拉氏变换的定义式，其作用就是将一个时域函数变换为一个复频域函数，它又可简记为
式 （12.1）左边的F（s）称为复频域函数，是时域函数f（t）的拉氏变换，F（s）也叫做f（t）的象函数。式 （12.1）称为拉氏变换的定义式，其作用就是将一个时域函数变换为一个复频域函数，它又可简记为
其中L[•]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般是时间函数，其拉普拉斯变换都是存在的。如果复频域函数F（s）已知，要求出与它对应的时域函数f（t），显然要用到拉普拉斯反变换，即
其中L[•]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般是时间函数，其拉普拉斯变换都是存在的。如果复频域函数F（s）已知，要求出与它对应的时域函数f（t），显然要用到拉普拉斯反变换，即
式 （12.2）左边的f（t）可称为F（s）的原函数。此式的作用是将一个复频域函数变换为一个时域函数，也可简记为
式 （12.2）左边的f（t）可称为F（s）的原函数。此式的作用是将一个复频域函数变换为一个时域函数，也可简记为
其中符号L-1[•]也是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数f（t）唯一地对应一个复频域函数F（s）；反过来，一个复频域函数F（s）唯一地对应一个时域函数f（t），即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变换中的唯一性。我们用小写字母来表示原函数，用相同的大写字母来表示象函数，如电流原函数i（t）的象函数写为I（s）。
式 （12.1）右边的积分为有限值，其中的e-st称为收敛因子。收敛因子中的变量s=c+jω是一个复数形式的频率，其实数部分始终为正，虚数部分可以为正、为负或为零。
【例12.1】 计算下列典型时域函数的象函数：
（1）单位冲激函数f（t）=δ（t）；
（2）单位阶跃函数f（t）=ε（t）；
（3）指数函数f（t）=e-αt；
（4）正弦函数f（t）=sinωt。
其中符号L-1[•]也是一个算子，表示对括号内的函数进行拉氏反变换。
在拉氏变换中，一个时域函数f（t）唯一地对应一个复频域函数F（s）；反过来，一个复频域函数F（s）唯一地对应一个时域函数f（t），即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变换中的唯一性。我们用小写字母来表示原函数，用相同的大写字母来表示象函数，如电流原函数i（t）的象函数写为I（s）。
式 （12.1）右边的积分为有限值，其中的e-st称为收敛因子。收敛因子中的变量s=c+jω是一个复数形式的频率，其实数部分始终为正，虚数部分可以为正、为负或为零。
【例12.1】 计算下列典型时域函数的象函数：
（1）单位冲激函数f（t）=δ（t）；
（2）单位阶跃函数f（t）=ε（t）；
（3）指数函数f（t）=e-αt；
（4）正弦函数f（t）=sinωt。
应注意积分下限取0-还是取0+的区别，若在t=0时函数f（t）存在冲激，则从t=0-开始积分就能把这个冲激包括进去，如果把积分下限取为0+，就不包括这个冲激；另一方面，如果在t=0时函数f（t）是连续的，则积分下限取0-或0+时所得的结果是一样的。
检验学习结果
12.1.1 何谓拉普拉斯变换？何谓拉普拉斯反变换？
12.1.2 什么是原函数？什么是反函数？二者之间的关系如何？
应注意积分下限取0-还是取0+的区别，若在t=0时函数f（t）存在冲激，则从t=0-开始积分就能把这个冲激包括进去，如果把积分下限取为0+，就不包括这个冲激；另一方面，如果在t=0时函数f（t）是连续的，则积分下限取0-或0+时所得的结果是一样的。
检验学习结果
12.1.1 何谓拉普拉斯变换？何谓拉普拉斯反变换？
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