二阶电路的零输入响应优化

2023-06-24 理论教育版权反馈

【摘要】：学习目标了解二阶电路的概念，熟悉二阶零输入响应的三种情况。含有两个储能元件的电路需用二阶线性常微分方程来描述，因此称为二阶电路。由此例可看出，单位阶跃响应的求解方法与一阶电路响应的求解方法类似，把响应公式中的输入改为单位阶跃响应ε，就可获得该电路的阶跃响应，为表示响应适用的时间范围，在所得结果的后面要乘以相应的单位阶跃函数。只是此状态下电路响应临近振荡，故称此时为“临界阻尼”状态。

学习目标

了解二阶电路的概念，熟悉二阶零输入响应的三种情况。

一阶电路只含有一个储能元件（电感或电容）。含有两个储能元件的电路需用二阶线性常微分方程来描述，因此称为二阶电路。

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图8.19　二阶零输入响应电路图

图8.19所示为RLC相串联的零输入响应电路，已知电容电压的初始值uC（0-）=U0，电流的初始值i （0-）=I0，在t=0时开关S闭合，电路中的过渡过程开始，根据KVL定律，过渡过程可描述为

显然此式是一个以uC为变量的二阶线性齐次微分方程式，其特征方程为

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（1）当时，电路中的电流和电压波形如图8.20 （a）所示，这种情况称为“过阻尼”状态。过阻尼状态下，电容电压uC单调衰减而最终趋于零，一直处于放电状态；放电电流iC则从零逐渐增大，达到最大值后又逐渐减小到零，没有正、负交替状况，因此响应是非振荡的。在 “过阻尼”状态下，电路既要满足换路定律，还要满足uC和iC最终为零的条件，所以它们不再按指数规律变化了。从能量的角度上看，在0～tm阶段，电容器原来储存的电场能量逐渐放出，一部分消耗在电阻上，一部分随着电流上升而使电感储能增加，由于电阻R较大，消耗的能量多，电感储存的能量少。在电流增大到对应tm时刻，电场释放的能量满足不了电阻消耗的时候，电流开始下降，即在tm～∞阶段，磁场能量伴随电流的减小开始释放，电场能量和磁场能量一起消耗在电阻R上，直到全部耗尽为止。

（2）当时，电路中的电流和电压波形如图8.20 （b）所示，这种情况称为“欠阻尼”状态。欠阻尼状态下，随着电容器的放电，电容电压逐渐下降，电流的绝对值逐渐增大，电场放出的能量一部分转化为磁场能量，另一部分转化为热能消耗于电阻上；在电容放电结束时，电流并不为零，仍按原方向继续流动，但绝对值在逐渐减小。当电流衰减为零时，电容器上又反向充电到一定电压，这时又开始放电，送出反方向的电流。此后，电压、电流的变化与前一阶段相似，只是方向与前阶段相反。由此周而复始地进行充放电，就形成了电压、电流的周期性交变，这种现象称为电磁振荡。在振荡过程中，由于电阻的存在，要不断地消耗能量，所以电压和电流的振幅逐渐减小，直至为零，即电路中的原始能量全部消耗在电阻上后，振荡被终止。这种振荡称为减幅振荡。

减幅振荡现象属于一种基本的电磁现象，在电子技术中得到广泛应用。例如外差式收音机、电视机等，只是在实际电路中，为了使减幅振荡成为不减幅的振荡，一般常采用另外的晶体管或其他电路来补偿电阻上的损耗。

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图8.20　“过阻尼”和 “欠阻尼”情况下的波形图

（a）“过阻尼”状态波形图；（b）“欠阻尼”状态波形图

（3）当时，电流和电压的波形仍是非振荡的，其能量转换过程与 “过阻尼”状态相同。只是此状态下电路响应临近振荡，故称此时为“临界阻尼”状态。

（4）R=0是一种理想的电路状态，由于电阻为零，因此电路中没有能量损耗。这种情况下，电容元件通过电感元件反复充放电所达到的电压值始终等于U0，因此电路中的电流振幅也不会减小，电场能量与磁场能量之间的相互转换永不停息，这时的振荡就成了按正弦规律变化的等幅振荡。在等幅振荡情况下，两个动态元件上的电抗必然相等，即XL=XC，由此可导出LC等幅振荡时电路的固有频率为

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