一阶电路的零输入响应优化探究

2023-06-24 理论教育版权反馈

【摘要】：图8.4RL零输入电路与波形图RL零输入电路；RL零输入响应规

只含有一个储能元件的动态电路称为一阶电路。通常有RC一阶电路和RL 一阶电路两大类。

1.RC电路的零输入响应

RC电路的零输入响应，实质上就是指具有一定原始能量的电容元件在放电过程中，电路中电压和电流的变化规律。

根据换路定律可知，当电容元件原来已经充有一定能量，若电路发生换路时，电容元件的极间电压是不会发生跃变的，必须自原来的数值开始连续地增加或减少，而电容元件中的充、放电电流是可以跃变的。

如图8.3 （a）所示的RC放电电路。开关S在位置1时电容C被充电，充电完毕后电路处于稳态。t=0时换路，开关S由位置1迅速投向位置2，放电过程开始。

放电过程开始一瞬间，根据换路定律可得uC（0+）=uC（0-）=US。此时电路中的电容元件与R相串后经位置2构成放电回路，由KVL定律可得

这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得

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图8.3　RC零输入响应波形图

（a）RC零输入电路；（b）RC零输入响应波形图

式中 US是过渡过程开始时电容电压的初始值uC（0+），τ=RC称为电路的时间常数。

如果我们用许多不同数值的R、C及US来重复上述放电实验可发现，不论R、C及US的值如何，RC一阶电路中的响应都是按指数规律变化的，如图8.3 （b）所示。由此可推论：RC一阶电路的零输入响应规律是指数规律。

如果我们让电路中的US不变而取几组不同的R和C 值，观察电路响应的变化可发现，当R和C值越大时，放电过程进行得越慢，R和C值越小时，放电过程进行得越快。也就是说，RC一阶电路放电速度的快慢，同时取决于R和C两者的大小，即取决于它们的乘积（时间常数τ）。因此，时间常数τ=RC是反映过渡过程进行快慢程度的物理量。

让式（8.2）中的t值分别等于1τ、2τ、3τ、4τ、5τ，可得出uC′随时间变化的衰减表（见表8.1）。时间常数τ的物理意义可由此表数据来进一步说明：

表8.1　电容电压随时间衰减表

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由表8.1中数据可知，当放电过程经历了一个τ的时间，电容电压就衰减为初始值的36.8%；经历了2τ后衰减为初始值的13.5%；经历了3τ就衰减为初始值的5%；经历了5τ后则衰减为初始值的0.7%。理论上，根据指数规律，必须经过无限长时间，过渡过程才能结束，但实际上，过渡过程经历了3～5τ的时间后，剩下的电容电压值已经微不足道了。因此，在工程上一般可认为此时电路已经进入稳态。

由此也可得出：时间常数τ是过渡过程经历了总变化量的63.2%所需要的时间，其单位是秒（s）。

电容元件上的放电电流，可根据它与电压的微分关系求得，即

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电容元件上的电流在图8.3 （b）中的位置是横轴下方，说明它是负值，原因是它与电压为非关联方向。

2.RL电路的零输入响应

根据电磁感应定律可知，电感线圈通过变化的电流时，总会产生自感电压，自感电压限定了电流必须是从零开始连续地增加，而不会发生不占用时间的跳变，不占用时间的变化率将是无限大的变化率，这在事实上是不可能的。同理，本来在电感线圈中流过的电流也不会跳变消失。实际应用中，含有电感线圈的电路拉断开关时，触点上会产生电弧，原因就在于此。

图8.4 （a）所示电路，在t＜0时通过电感中的电流为I0。设在t=0时开关S闭合，根据换路定律，电感中仍具有初始电流I0，此电流将在RL回路中逐渐衰减，最后为零。在这一过程中，电感元件在初始时刻的原始能量WL=0.5LI20逐渐被电阻消耗，转化为热能。

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