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逻辑代数的基本定律与规则

2023-06-24 理论教育版权反馈

【摘要】：下面介绍逻辑代数的基本定律、常用公式和重要规则。表7-50 齿厚上偏差Ess值（μm）3. 重要规则逻辑代数有3条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。反演规则为求取已知逻辑函数表达式的反逻辑函数表达式提供了方便。解根据反演规则可写出：注：1.各最小法向侧隙种类和各精度等级齿轮的Ess值，由基本值栏查出的数值乘以系数得出。

逻辑代数作为一种代数，有自己的特点和运算规则。下面介绍逻辑代数的基本定律、常用公式和重要规则。

1. 基本定律

表4 - 12给出了逻辑代数的基本定律。这些定律的正确性可以用真值表加以证明。如果等式成立，那么将任何一组变量的取值代入，等式两边所得结果应该相等。由于真值表是所有变量取值的组合，因此等式两边的真值表相等便可以说明等式两边相等。

表4-12　逻辑代数的基本定律

pagenumber_ebook=79,pagenumber_book=67

这些公式的正确性可以用列真值表的方法加以验证。如果等式成立，那么将任何一组变量的取值代入公式两边所得的结果应该相等。因此，等式两边所对应的真值表也必然相同。

例4 - 4 用真值表证明表4 - 12中分配律的正确性。

解由表4 - 13得A +BC =(A +B) (A +C)。

表4-13　分配律的真值表

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2. 常用公式

逻辑代数常用公式见表4 - 14。

表4-14　逻辑代数常用公式

pagenumber_ebook=80,pagenumber_book=68

3. 重要规则

逻辑代数有3条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。这3条规则在逻辑运算中十分有用。

1）代入规则

在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。

例4 - 5 用代入规则证明分配律也使用于多变量的情况。

解已知A( B +E )=AB +AE成立，则将E的位置换为(C+D)后，

左边：A( B +(C +D))=AB +A( C +D)=AB +AC +AD；

右边：AB +A( C +D )=AB +AC +AD。

左边 = 右边，等式成立。

2）反演规则

对于任意一个逻辑函数表达式F，若将其中所有的“· ”变成“ + ”，“ + ”变成“· ”，0变成1，1变成0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，则得到的结果就是逻辑函数F的反函数。

反演规则为求取已知逻辑函数表达式的反逻辑函数表达式提供了方便。

提示：在使用反演规则时还需注意遵守以下两个规则。

（1） “先括号，然后与，最后或”的运算优先次序；

（2）不属于单个变量上的反号应保留不变。解根据反演规则可写出：

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如果利用基本定律和常用公式进行运算，也能得到同样的结果，但是麻烦得多。

3）对偶规则

对于任何一个逻辑函数表达式F，若将其中的“· ”换成“ + ”，“ + ”换成“· ”，则得到一个新的逻辑表达式F′，这个F′就叫作F的对偶表达式，或者说F和F′互为对偶式。若两个逻辑表达式相等，则它们的对偶表达式也相等。

提示：函数的对偶式和反演式是不同的。在求对偶式时，不需要将原变量和反变量进行互换。