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设计一个高效的切换函数

2023-06-24 理论教育版权反馈

【摘要】：所以，切换面的设计是滑模变结构设计中的第一步，也是十分重要的一步，本节将重点介绍滑模变结构控制中切换函数的几种设计方法[63，66，87]。式中，且Q11，Q22为非奇异；t0为进入切换面的时刻。这里，我们可以将式表示成分块形式式中，C2和V1分别为m×m以及×阶矩阵，即有对系统式，设其切换函数为S=Cx，则由可以计算出其等效控制为同时可以确定滑动模态的微分方程如下：式中，K=-1CA。因此，通过特征向量配置方法确定的切换函数。

对于一般连续线性系统滑模变结构控制的设计，其中最重要的一部分就是根据系统所期望具有的动态特性来设计系统的切换平面（或切换超平面），并使切换平面具有某种优良品质，以便系统状态在非滑动模态区中能够快速、平稳地到达切换面。所以，切换面（切换函数）的设计是滑模变结构设计中的第一步，也是十分重要的一步，本节将重点介绍滑模变结构控制中切换函数的几种设计方法[63，66，87]。

1.极点配置方法

设一线性控制系统

综上所述，通过极点配置方法确定的切换函数为。

2.最优控制方法

在现代控制理论中，最优控制方法是求反馈控制的一种重要综合性方法。其中，线性二次型指标最优是最优控制中发展最完善的一部分，已经建立了系统的理论和算法。下面就介绍应用最优二次型指标控制理论来设计切换函数，即最终滑模面。

针对上述简约型系统（3.76），定义其优化积分指标如下：

式中，分别是系统的状态向量和控制向量。

对上述线性系统进行非奇异线性变换x=P-1z，则可将其化简为以下简约型：

式中，B2为m×m阶可逆方阵，且

对系统（3.76），设其切换函数为

式中，C2为非奇异矩阵。则在切换面S（z）=0上有

式中，。

因此，综合式（3.76）和式（3.78），我们可以得到一个以z2为控制的子系统，其表示如下：

由现代控制理论的相关知识可知，其简约型变换后的子系统（A11，A12）是可控的，因此可以通过传统的极点配置方法确定子系统（3.79）的反馈系数矩阵K。

由于非奇异矩阵C2是任意的，这里可以取C2=Im，因此可以确定使原系统滑模运动具有良好动态品质的切换函数矩阵C，表示如下：

综上所述，通过极点配置方法确定的切换函数为。

2.最优控制方法

在现代控制理论中，最优控制方法是求反馈控制的一种重要综合性方法。其中，线性二次型指标最优是最优控制中发展最完善的一部分，已经建立了系统的理论和算法。下面就介绍应用最优二次型指标控制理论来设计切换函数，即最终滑模面。

针对上述简约型系统（3.76），定义其优化积分指标如下：

式中，且Q11，Q22为非奇异；t0为进入切换面的时刻。

式中，且Q11，Q22为非奇异；t0为进入切换面的时刻。

进行状态变换则可以形成一个等价的系统及其最优指标：

进行状态变换则可以形成一个等价的系统及其最优指标：

式中，。

这样，切换面系数矩阵C的求解问题就变为上述典型二次型指标的最优控制问题，其最优解可以表示为

式中，P是黎卡提代数方程

的唯一正定解。

式中，。

这样，切换面系数矩阵C的求解问题就变为上述典型二次型指标的最优控制问题，其最优解可以表示为

式中，P是黎卡提代数方程

的唯一正定解。

将最优解式（3.83）代回状态变换整理后得

式（3.85）中的系数即为切换面系数，即切换面系数矩阵C可表示为

所以，最优控制方法确定的切换函数为

3.特征向量配置方法

将最优解式（3.83）代回状态变换整理后得

式（3.85）中的系数即为切换面系数，即切换面系数矩阵C可表示为

所以，最优控制方法确定的切换函数为

3.特征向量配置方法

对系统式（3.75），设其切换函数为S（x）=Cx，则由可以计算出其等效控制为

同时可以确定滑动模态的微分方程如下：

式中，K=（CB）-1CA。

我们知道滑动模态发生于切换函数矩阵C的零空间，即

其中，R表示矩阵A−BK的像空间，N表示矩阵C的零空间。

记λi（i=1，2，…，n）为矩阵A−BK的特征根，其对应的特征向量为vi，于是有

式（3.89）若想成立，则需满足下列两个条件中的任意一个：

(1)λi=0;

(2)vi∈N(C)。

由于滑模运动是n−m维降维运动，故{λ1，…，λn}中必有m个零根。设其非零特征根为{λ1，λ2，…，λn-m}，则它们对应的特征向量可以扩张成系数矩阵C的零空间，于是有

式中，V=[v1，v2，…，vn-m]

由式（3.90）可以求解出系数矩阵C，但是其解并不唯一。这里，我们可以将式（3.90）表示成分块形式

式中，C2和V1分别为m×m以及（n−m）×（n−m）阶矩阵，即有

对系统式（3.75），设其切换函数为S（x）=Cx，则由可以计算出其等效控制为

同时可以确定滑动模态的微分方程如下：

式中，K=（CB）-1CA。

我们知道滑动模态发生于切换函数矩阵C的零空间，即

其中，R表示矩阵A−BK的像空间，N表示矩阵C的零空间。

记λi（i=1，2，…，n）为矩阵A−BK的特征根，其对应的特征向量为vi，于是有

式（3.89）若想成立，则需满足下列两个条件中的任意一个：

(1)λi=0;

(2)vi∈N(C)。

由于滑模运动是n−m维降维运动，故{λ1，…，λn}中必有m个零根。设其非零特征根为{λ1，λ2，…，λn-m}，则它们对应的特征向量可以扩张成系数矩阵C的零空间，于是有

式中，V=[v1，v2，…，vn-m]

由式（3.90）可以求解出系数矩阵C，但是其解并不唯一。这里，我们可以将式（3.90）表示成分块形式

式中，C2和V1分别为m×m以及（n−m）×（n−m）阶矩阵，即有

不失一般性，设C2，V1非奇异，可得于是可将切换函数系数矩阵C表示成以下形式：

式中，C2为任意m阶非奇异矩阵。

不失一般性，设C2，V1非奇异，可得于是可将切换函数系数矩阵C表示成以下形式：

式中，C2为任意m阶非奇异矩阵。

因此，通过特征向量配置方法确定的切换函数。

除上述介绍的三种方法外，还可以通过李雅普诺夫方法求解切换函数[86]。

因此，通过特征向量配置方法确定的切换函数。

除上述介绍的三种方法外，还可以通过李雅普诺夫方法求解切换函数[86]。