加强肋建模的理论基础优化方案

本小节将对以下问题进行介绍：

1）二维问题中的加强肋建模。

图1-6 平面应力状态下的屈服面示意图

2）三维问题中的加强肋建模。

3）板壳、薄膜和空间面单元中的加强肋建模。

1.二维问题中的加强肋建模

在ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit模块中都可以使用rebar来建立二维问题的加强肋模型。

令g_i（i=1，2）为单元的局部等参坐标；r为沿单元表面与加强肋所在平面相交形成的交线的局部等参坐标，在单元中，-1≤r≤1，如图1-7所示。

加强肋所在的平面总是与单元表面垂直。

对加强肋在第一、二个点求积分，这取决于加强肋所依附的固体单元的插值阶次。在每个积分点上积分域的体积、积分点位置、加强肋的应变、加强肋应变的一阶变分δε和二阶变分dδε可以表示成如下形式：

图1-7 二维问题中的加强肋建模

式中，ΔV是积分域的体积；t₀对平面单元来说是初始厚度，对轴对称单元来说是2πx₁；A_r是加强肋横截面面积；S_r是加强肋的间距（对于轴对称单元S_r=（x₁/x⁰₁）S⁰_r，其中x⁰₁是半径，间距S⁰_r给定）；W_N是高斯加权因子，与沿r的积分点有关；x=x（g_i）是积分点的位置；并且

应变为

式中，dl和dl₀分别是在当前和初始结构中沿加强肋的长度。

单元中的允许变形为

式中，α是从模型平面到加强肋的方位角；λ_r是r方向的拉伸率；λ_t是厚度方向的拉伸率：对平面应力和平面应变问题λ_t=1，对广义平面应变问题λ_t=t/t₀（其中t在“广义平面应变单元”中给定），对轴对称单元λ_t=x₁/x₁₀。

利用这些结果，应变的一阶变分是

式中，对平面应力和平面应变问题δp_t=0；对广义平面应变问题；对轴对称问题。

应变的二阶变分为

2.三维问题中的加强肋建模

在ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit模块中都可以使用rebar来建立三维问题的加强肋模型。

令g_i（i=1，2，3）为加强肋所在的基体固体单元的等参坐标，r_α（α=1，2）为加强肋所在平面的等参坐标（-1≤r_α≤1），t为沿加强肋方向的材料坐标（见图1-8）。

用2×2或1×1的高斯积分格式对加强肋进行积分。这里的积分阶次的选择取决于加强肋所在的基体单元的插值阶次。在每个积分点的积分域的体积是

式中，A_r是加强肋横截面面积；S_r是加强肋的间距；W_N是高斯积分的权系数；X是高斯点的位置坐标矢量，且有

图1-8 三维问题中的加强肋建模

在这些表达式中，所有的量在参考构型中选取，这样ABAQUS忽略由于加强肋的应变造成的加强肋横截面的变化，以及加强肋间距的变化。

加强肋的应变为

式中，；G是在初始配置中g的值。

为了方便起见，引入一个材料坐标s，用它来表示在当前构型中沿加强肋轴线的距离，且有

用s表示的应变的一阶变分是

应变的二阶变分为

3.板壳、薄膜和空间面单元中的加强肋建模

在ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit模块中都可以使用rebar来建立板壳、薄膜和空间面单元中的加强肋模型。板壳、薄膜和空间面单元中的加强肋的定义是基于以下三种几何特性的：

1）每一个单独的加强肋的横截面面积。

2）加强肋间的间距。

3）与加强肋所在单元的局部坐标系相关的加强肋方位。

在壳单元中，定义加强肋还需要确定从壳单元的中面到加强肋的距离。基于这些几何特性和加强肋材料的弹性模量，ABAQUS创建一个等效“弥散”（smeared）正交各向异性层。这个等效加强肋层平行于加强肋所在单元的中面。在膜单元和空间面单元中，这个正交各向异性层与加强肋所在单元平面一致。而在壳单元中，它可以向上偏移壳厚度的一半。在几何线性分析中，等效加强肋层的几何特性保持一个常量。然而，在几何非线性分析中，这些几何特性将随有限应变而改变。

用户可以有许多选项去定义加强肋在单元中的方向。在每一种情况下，θ用来表示加强肋与一个单元等参坐标之间的角度，它的符号规定从加强肋所在单元的法线转向单元体方向为正值。引入单位方向矢量T来表示加强肋在单元一点处的方向。等参方向可以通过切线矢量A_α给出：

式中，X是参考中面位置；ξ_α（α=1或2）是等参坐标函数；N_A是单元的形函数；X_A是单元的参考节点位置。

参考或初始加强肋角度ψ由加强肋单位方向矢量T和等参方向A_α的内积计算而来，其中，α由用户指定：

加强肋方向矢量T和用户选定的等参方向A_α位于平行于单元中面的切面内。面内单位矢量垂直于加强肋方向P，它是将T绕中平面法线N旋转90°得到的。法线N为

当由加强肋加固的单元变形时，加强肋的长度和间距都发生变化。等效弥散加强肋层假设意味着加强肋层的变形由下面的单元变形梯度F决定。根据这个假设，加强肋伸长λ_r为

λ_r=‖F·T‖=‖t‖ （1-44）式中，t=F·T是变形后的加强肋物质纤维矢量。

因为变形梯度把物质线映射“刻画”到变形以后的参考体中，这些物质线的长度就定义了加强肋的伸长。加强肋的对数应变ε_r为

ε_r=lnλ_r=ln‖t‖（1-45）

加强肋间距的伸展λ_p是加强肋所在平面沿垂直于加强肋方向的伸展。确定间距伸展λ_p的值要用到单位法线矢量p，它在加强肋平面内垂直于加强肋的变形方向t，其计算式为

容易证明p是单位方向矢量。为了证明它垂直于t，可以取内积运算，则有

间距的伸展λ_p可以定义为沿着矢量p的一个变形分量，这个分量垂直于加强肋的参考方向p。因为p的变形等于F·P，从而得到间距的伸展λ_p为

又因为p是一个单位方向矢量，所以

加强肋方向与用户选择的等参方向之间的夹角θ的计算式为

对下标不求和加强肋的方向角度的改变Δθ是加强肋最终方向角和初始方向角的差，即

Δθ=θ-ψ （1-51）

ABAQUS在计算结果中将给出单元中每个积分点位置上的加强肋当前的方向角度θ和角度改变量Δθ。

等效弥散层的厚度等于加强肋的面积除以加强肋的间距，ABAQUS假定在整个分析过程中加强肋的体积保持不变。这个假定意味着，作为有限应变效应的结果，加强肋的面积和间距可以改变。在变形后的构型中，加强肋的面积和间距被定义为

S_r=S⁰_rλ_p （1-52）式中，A⁰_r是初始加强肋横截面面积；S⁰_r是初始加强肋间距。

在壳单元中，加强肋层最初可以定义在中面上方或下方的一定距离上。在允许有限应变的壳单元中，壳的厚度变化是面内变形的一个函数。在ABAQUS/Standard模块中，厚度变化由截面的泊松比定义，它可以由用户指定。在ABAQUS/Explicit模块中，它的值是由沿壳厚度方向实际的材料性能决定的。考虑到壳厚度的改变，加强肋层与中面的距离与壳单元厚度的变化相关。

4.在ABAQUS中定义加强肋

正确、高效地使用ABAQUS工具来定义结构中的加强肋，是工程师的一项基本技能。下面结合ABAQUS手册中的相关命令，介绍在ABAQUS中定义加强肋的过程和方法。

（1）使用∗REBAR将加强肋定义为单元属性 在壳、膜和固体单元中，∗RE-BAR选项被用于将加强肋定义为单元属性。在ABAQUS/Standard分析中，必须用它来定义梁中的加强肋。而在壳、膜和空间表面单元中，最好采用∗REBAR LAYER来定义加强肋层。加强肋层的定义必须与∗SHELL SECTION、∗MEM-BRANE SECTION或∗SURFACE SECTION等关键词选项一起使用。而在固体单元中定义加强肋时，最好用∗EMBEDDED ELEMENT选项把加强的面或薄膜“埋设在”基体单元中。

下面的参数是在定义∗REBAR时必须给定的：

1）ELEMENT：在ABAQUS/Standard分析中，用ELEMENT=BEAM就能定义梁单元中的加强肋。

用ELEMENT=SHELL可以定义三维壳单元中的加强肋。三角形壳单元中不能定义加强肋。

用ELEMENT=AXISHELL能定义轴对称壳单元中的加强肋。

用ELEMENT=MEMBRANE可以定义三维膜单元中的加强肋。三角形膜单元中不能定义加强肋。

在ABAQUS/Standard分析中，在轴对称膜单元中定义加强肋时，设定ELE-MENT=AXIMEMBRANE。

在连续（固体）单元中定义加强肋时，设定ELEMENT=CONTINUUM。加强肋不能被用于平面三角形、三角棱柱、四面体或无限单元。

2）MATERIAL：用这个参数来定义加强肋的材料名称。

3）NAME：用这个参数定义加强肋单元集（rebar set）的名称。当施加预应力或其他初始条件，以及选择指定后处理结果输出时，一般通过单元集来进行。在某个指定的单元或单元集之中，每一个加强肋的层都必须有一个独立的名字。

（2）可选参数（Optional Parameters）

1）GEOMETRY：这个参数对梁、轴对称壳、轴对称膜的加强肋或连续单元中的单个加强肋是无意义的。

设定GEOMETRY=ISOPARAMETRIC（默认值）表示加强肋层平行于单元局部坐标系的一个方向。

设定GEOMETRY=SKEW表示加强肋层与相应的单元面是倾斜的。

2）ISODIRECTION：设定这个参数等于等参方向，这个值将度量加强肋的角度输出。默认值是1。

3）ORIENTATION：这个参数仅对壳单元和膜单元中的倾斜加强肋有意义。设定这个参数等于定义加强肋角的方向。在轴对称壳单元和轴对称膜单元中，这个参数是不允许出现的。

4）SINGLE：这个参数仅对连续单元有意义。如果单个的加强肋由一个数据行来定义，则包含这个参数。如果这个参数被忽略，在单元等参空间中，每一行定义均匀间隔加强肋的层。

（3）在梁单元中定义加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）距离X₁ （见图1-9）。

4）距离X₂。

图1-9 加强肋在梁截面中的位置

必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（4）在三维壳单元中定义等参加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）在壳平面中加强肋的间距。默认值为1.0。

4）在壳厚度方向上加强肋的位置。它的值为加强肋与壳中平面之间的距离，与壳正法线方向一致为正。如果NODAL THICKNESS参数被包含在壳单元的∗SHELL SECTION选项中，此时这个值可以被修改。

5）在单元的局部（等参）坐标系中，加强肋平行于单元边的序号，见图1-10。

必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

图1-10 三维壳或膜单元的等参加强肋

（5）在三维膜单元中定义等参加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）在膜平面中加强肋的间距。默认值为1。

4）在单元的局部（等参）坐标系中，加强肋平行于单元边的序号。见图1-10。必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（6）在三维壳单元中定义倾斜加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）在壳平面中加强肋的间距。默认值为1.0。

4）在壳厚度方向上加强肋的位置。它的值为加强肋与壳中平面之间的距离，与壳正法线方向一致为正。如果NODAL THICKNESS参数被包含在底层壳单元的∗SHELL SECTION选项中，这个值被修改。

5）正的局部方向1与加强肋间角（°）方向。∗SHELL SECTION选项中的ORIENTATION参数对加强肋角方向没有影响。必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（7）在三维膜单元中定义倾斜加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）在膜平面中加强肋的间距。默认值为1.0。

4）正的局部方向1与加强肋间角（°）方向。∗MEMBRANE SECTION选项中的ORIENTATION参数对加强肋角方向没有影响。必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（8）在轴对称壳单元中定义加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）在加强肋层中加强肋的间距。默认值为1.0。

4）在壳厚度方向上加强肋的位置。它的值为加强肋与壳中平面之间的距离，与壳正法线方向一致为正。如果NODAL THICKNESS参数被包含在底层壳单元的∗SHELL SECTION选项中，这个值被修改。

5）从子午面起始的加强肋的角（°）方向（0°为子午面，90°为圆周面）。从壳的正法线方向旋转为正。

6）度量加强肋间距的半径位置。如果它为非零值，表示加强肋间距随半径位置线性变化。如果它为零值或为空，表示加强肋间距不随位置变化。这个值对圆周加强肋没有意义。必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（9）在轴对称膜单元中定义加强肋的数据行 第一行：

1）包含加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）在加强肋层中加强肋的间距。默认值为1.0。

4）从子午面起始的加强肋的角（°）方向（0°为子午面，90°为圆周面）。从膜的正法线方向旋转为正。

5）度量加强肋间距的半径位置。如果它为非零值，表示加强肋间距随半径位置线性变化。如果它为零值或为空，表示加强肋间距不随位置变化。这个值对圆周加强肋没有意义。必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（10）当加强肋层平行于单元局部（等参）坐标系（GEOMETRY=ISOPARA-METRIC）的两个等参局部坐标方向时，在连续单元（SINGLE参数省略）中定义等间距加强肋层的数据行 第一行：

1）包含这些加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）加强肋的间距。默认值为1.0。

4）加强肋的方向，以度（°）为单位，见图1-11。

5）与下面给出的边之间的分数距离f，它是加强肋与边之间距离和单元横向距离之间的比值。

图1-11 平面和轴对称固体单元中加强肋的方向

6）定义加强肋的边数，见图1-12或图1-15。

图1-12 固体单元中等参加强肋层的定义

7）等参局部坐标的方向（仅用于三维单元）。

8）这个值仅对轴对称单元有意义，这里设置度量加强肋间距的半径位置。如果它为非零值，表示加强肋间距随半径位置线性变化。如果它为零值或为空，表示加强肋间距不随位置变化。必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（11）当加强肋层平行于单元局部（等参）坐标系（GEOMETRY=SKEW）的一个等参局部坐标方向时，在连续单元（SINGLE参数省略）中定义等间距加强肋层的数据行

第一行：

1）包含这些加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）加强肋的间距。默认值为1.0。

4）加强肋的方向，以度（°）为单位，见图1-11。

5）这个值仅对轴对称单元有意义。这里设置度量加强肋间距的半径位置。如果它为非零值，表示加强肋间距随半径位置线性变化。如果它为零值或为空，表示加强肋间距不随位置变化。

6）等参局部坐标方向（仅用于三维单元）。

第二行：

1）沿边1的分数距离f₁（见图1-13）。

图1-13 非对称的固体单元中加强肋层的定义

2）沿边2的分数距离f₂。

3）沿边3的分数距离f₃。

4）沿边4的分数距离f₄。

必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（12）在连续单元（SINGLE参数省略）中定义单个加强肋的数据行 第一行：

1）包含这些加强肋的单元号码或单元集的名称。

2）加强肋的横截面积。

3）定义单元中加强肋的位置的分数距离f₁（见图1-14）。

图1-14 固体单元中的单个加强肋

4）定义单元中加强肋的位置的分数距离f₂。

5）等参局部坐标方向（仅用于三维单元）。

在三维情况下，分数距离f₁和f₂为图1-15所标识的等参局部坐标方向中定义的面的第一和第二条边。

必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋。

（13）∗REBAR LAYER：在膜、壳、平面和连续单元中定义加强肋层 使用∗REBAR LAYER这一命令，可以在壳、膜和固体单元中定义一个或多个加强肋层。它必须与∗SHELL SECTION、∗MEMBRANE SECTION或∗SURFACE SECTION等截面属性定义选项一起使用。定义固体连续介质单元中的加强肋层时可以用∗EMBEDDED ELEMENT来定义埋设在单元中的一组面单元或膜单元。

定义加强肋层时操作选用的参数如下：

1）GEOMETRY。用这个参数去指定加强肋几何类型。

如果在单元中加强肋的间距是不变的，则设定GEOMETRY=CONSTANT（默认值）。间距作为长度的度量在数据行中给出。

在柱坐标系中，如果加强肋间距随到旋转轴间的距离成线性增长，设定GE-OMETRY=ANGULAR。间距值作为角间距，以度（°）为单位，在数据行中给出。如果这个选项与三维膜、壳和表面单元连用，柱坐标的局部方向系统必须被定义。

图1-15 三维单元的等参方向和边的定义

如果单元中加强肋间距和方向能够由轮胎的上升方程（Lift Equation）来确定，则使用GEOMETRY=LIFT EQUATION命令来定义加强层的几何参数。加强肋的参数是按照展平的轮胎构型定义的。上升方程把加强肋的参数映射到弯曲后的轮胎构型中。间距的值在数据行中给出。如果这个选项与三维膜、壳和表面单元连用，圆柱坐标局部方向系统必须被定义。

2）ORIENTATION。这个参数仅对一般壳、膜和表面单元中的加强肋有意义。在数据行中设定这个参数等于定义加强肋角方向的局部方向。如果这个参数缺省，在数据行中加强肋的角方向被指定为相对于缺省投影的局部的表面方向。在轴对称壳单元和轴对称膜单元中这个参数是不允许出现的。

（14）定义加强肋层的数据行 第一行数据将给定下述各项内容：

1）标识加强肋层的名称。这个名字被用来定义加强肋层的预应力场和给定输出结果选择。在给定的单元或单元集中，每个加强肋层必须给定一个单独的名字。

2）加强肋的横截面积。

3）在膜、壳和面单元平面中的加强肋间距。当设定GEOMETRY=ANGU-LAR，它的值以度（°）为单位按照角间距被给定，否则这个值作为长度的度量被给定。如果使用命令GEOMETRY=LIFT EQUATION，则要在展平的几何体中定义这个间距。

4）在壳的截面厚度方向上加强肋的位置。它的值为加强肋与壳中平面之间的距离，与壳的正法线方向一致为正。如果NODAL THICKNESS参数被包含在壳单元的∗SHELL SECTION截面定义选项中，则厚度方向上加强肋的位置将可以被修改。这个赋值命令在膜单元或表面单元中没有意义。

5）加强肋层材料的名称。

6）对三维壳、膜和表面单元，指定加强肋间与局部坐标的方向1的正的角度值（°）。如果GEOMETRY=LIFT EQUATION，则要在展平的几何体中指定角度。

局部坐标的方向1用∗ORIENTATION选项来定义，并设定ORIENTATION参数等于局部坐标方向系统的名称。如果ORIENTATION参数被省略，局部坐标的方向1就用缺省的投影的局部表面方向来定义。在∗MEMBRANE SECTION和∗SHELL SECTION给定的参数ORIENTATION对加强肋角方向没有影响。对轴对称壳、轴对称膜和轴对称表面单元，指定从子午面起始的加强肋的角方向，以度（°）为单位（0°为子午面，90°为圆周面）。从正法线方向开始向壳、膜和表面单元方向的旋转为正旋转。

7）等参方向，它用来度量加强肋角的输出结果。默认值为1.0。

8）伸张比e，与加强肋定义GEOMETRY=LIFT EQUATION连用。如果用GEOMETRY=CONSTANT或GEOMETRY=ANGULAR定义加强肋，这个参数没有意义。

9）半径r₀，与加强肋定义GEOMETRY=LIFT EQUATION连用。在展平的几何体中，这个值是加强肋的位置，相对于柱坐标系中的旋转轴来定义度量。如果用GEOMETRY=CONSTANT或GEOMETRY=ANGULAR定义加强肋，这个参数没有意义。

必要时重复这个数据行。每行定义一个加强肋层。