变换矩阵在功率不变约束条件下的应用

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：在变换前后功率不变，且电压和电流选取相同变换阵的条件下，变换阵的逆与其转置相同，在两相系统上再人为地增加一相零轴磁动势，则构成的这种变换属于正交变换。这种变换被称为同步旋转d、q变换。图2-5 二相静止/二相旋转变换下面对另一种最贴切的反映电机的物理特征的坐标变换——绕组匝数不变约束条件下的坐标变换进行介绍，具体推导和上节类似，只给出相应的结论。

在变换前后功率不变，且电压和电流选取相同变换阵的条件下，变换阵的逆与其转置相同，在两相系统上再人为地增加一相零轴磁动势，则构成的这种变换属于正交变换。

设变换前电压矩阵方程为u=ZI

用u′、I′、Z′表示变换后的电压、电流和阻抗矩阵，令

式中，C_u、C_i分别为电压和电流的变换矩阵。

设变换前后两个坐标系统中的功率不变，即

式中，I^T，I′^T分别为I和I′的共轭转置矩阵。

把式（2-30）中的u、I代入式（2-31），可得到以下关系：

式中，I_n为单位矩阵。

为简化变换系统，通常取C_i=C_u=C，所以

而

满足式（2-32）的变换矩阵叫单元变换矩阵，这种变换称为正交变换。

又磁链ψ=Cψ′，因为ψ=LI，ψ′=L′I′，所以

式（2-32）是在“功率不变”和电压、电流选取相同的变换阵的条件下得到的。即在这种正交变换中，变换阵C的可逆阵C^-1等于变换阵C的共轭转置。如果变换阵C是实数矩阵，即，那么

C^-1=C^T （2-35）

这种变换的优点是变换前后满足功率不变约束和磁动势不变约束条件，其变换阵的逆等于其转置矩阵，此外，采用这种变换时所有互感是可逆的。这种变换存在的问题是变换前后绕组匝数不等，失去了静止坐标系（A、B、C坐标系）和同步旋转坐标系（d、q、0坐标系）下变量之间单位对单位的对应关系。

图2-4 三相/两相变换

2.2.1.1 三相静止到两相旋转（3s/2r）的坐标变换

取垂直的坐标d、q，如图2-4a所示，d轴与定子A相轴线之间的夹角为θ₁，d轴与转子a相之间的夹角为θ₂，转子a轴超前定子A轴的角度为θ，采用d、q两相系统取代换A、B、C三相系统，这种变换可以看成一种将定子量折算到转子侧的手段，类似于在变压器中用匝数比将二次侧量折算到一次侧。设三相系统每相绕组匝数为N₃，两相系统每相绕组匝数为N₂，令三相系统总磁动势等于两相系统总磁动势，则有

式中，i_ds、i_qs为系统中的定子电流在d、q轴向的分量。

再定义一个零轴电流，设，则

式中，C_3s/2r为定子三相A、B、C变换到d、q两相的变换矩阵，即

只要选取K≠0，则行列式|C_3s/2r|≠0。对式（2-37）的C_3s/2r求逆，可得到

由式（2-36）得到

由于C_3s/2r是单元变换矩阵，根据式（2-35）有

由式（2-37）求为

比较式（2-38）和式（2-39），可得到以下关系式：

所以

把这两个值代入式（2-38）和式（2-37）可得到

所以有

反变换式为

转子电压、电流、磁通从三相变换到d、q两相的变换阵为C_3s/2r，将式（2-42）中θ₁用θ₂代换即可（见图2-4a）：

反变换阵为

变换式为

反变换式为

如果d、q轴与定子旋转磁场（也是转子旋转磁场）同步旋转，那么dθ₁/dt=pθ₁=ω₁（ω₁是定子旋转磁场角速度），dθ/dt=pθ=ω_r（ω_r是转子旋转角速度），dθ₂/dt=ω₂=ω_s（ω₂是转子转差角速度，ω₂=ω_s=ω₁-ω_r）。这种变换被称为同步旋转d、q变换。变换后的系统被称为同步旋转d、q坐标系统。

2.2.1.2 三相静止到两相静止（3s/2s）的坐标变换

如果把两个互相垂直的坐标轴d、q固定在定子上，并且取d的方向与定子A相绕组轴线一致，那么这种变换被称为静止三相/两相变换，为了将它区别于旋转的d、q变换，通常用互相垂直的α、β轴代替d、q轴，并称为α、β变换（α轴类似d轴且与定子A轴同方向），如图2-4b所示。在α、β变换中，因为图2-4a中的θ₁≡0，pθ₁=0，所以类似于公式（2-42），我们有变换阵

反变换阵为

变换式为

反变换式为

由式（2-49）可知：三相/二相静止变换阵中的元素都是常数（与θ角无关），而在三相/二相旋转变换中，由于两个坐标系统之间有相对运动，变换阵中的一些元素是两个系统之间相位差角θ₁（或θ₂）的函数，如式（2-42）和式（2-45）所示。

在α、β变换中，若转子各量也变换到与定子相同的α、β系统，则转子变换阵中的某些元素就应该是θ角的函数，而不全是常数。因为原转子a、b、c系统与变换后的α、β系统之间有相对运动，如果我们把转子a、b、c系统中的各量变换到与转子a相绕组相对静止的α、β系统（常取α轴与转子a轴方向相同），那时变换阵中的元素类似于式（2-49），全是常数，这当然也是由于变换前后的两个坐标系统之间没有相对运动之故。

2.2.1.3 两相静止到两相旋转（2s/2r）的坐标变换

由两相静止坐标系α-β到两相旋转坐标系d-q的变换简称2s/2r变换，α轴与d轴的夹角θ₁随着时间而变化，令静止的二相系统α、β与旋转的二相系统d、q绕组匝数相同，磁动势相等，则由图2-5可得（以电流为例）：