三相静止坐标系下交流励磁双馈发电机的多变量数学模型优化

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：本章将在两种惯例下讨论双馈发电机的数学模型，定子绕组采用电动机惯例或发电机惯例，转子绕组采用电动机惯例。2）忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是线性的。图2-1 双馈发电机绕组模型根据以上假设，电机绕组可等效为图2-1所示的双馈发电机物理模型。故有式中，aK为比例系数。如图2-2所示为异步电机中的能量关系图。而电磁转矩Te等于磁链不变时磁场储能对机械角位移的偏导数，Te的正值对应于磁场能量的减少。

交流电机的动态性能是比较复杂的，因为转子绕组相对于三相定子绕组在做运动，本质上电机可以被看做是具有旋转二次绕组的变压器，其中定子和转子绕组之间的耦合系数随着位置的变化而连续变化，即使忽略磁饱和效应，运动方程的系数仍然是时变函数，这是系统非线性的一个根源。因此，电机模型可以通过具有时变互感的微分方程来描述，但是这种模型往往比较复杂，也可以用等效的两相电机来表示，可使问题简化一些，但时变参数问题依然存在。

双馈感应发电机的基本结构与绕线转子异步电动机相似，其定、转子上均有三相对称绕组，磁路、电路对称，且具有均匀的气隙分布。本章将在两种惯例下讨论双馈发电机的数学模型，定子绕组采用电动机惯例或发电机惯例，转子绕组采用电动机惯例。对于定、转子绕组均采用电动机惯例的情况，为便于问题分析，做如下假定：

1）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间中互差120°电角度，所产生的磁动势沿气隙圆周按正弦规律分布。

2）忽略磁路饱和，认为各绕组的自感和互感都是线性的。

3）忽略铁心损耗。

4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。

5）转子侧参数都折算到定子侧，折算后定子和转子绕组匝数相等。

6）各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例（即取电流的正方向为流入电路的方向，电磁转矩的正方向与旋转方向一致）和右手螺旋定则。

图2-1 双馈发电机绕组模型

根据以上假设，电机绕组可等效为图2-1所示的双馈发电机物理模型。

定子绕组坐标系A、B、C在空间中固定，转子绕组坐标系a、b、c随转子旋转。转子a轴和定子A轴的电角度θ_r为转子空间位置角。

（一）磁链方程

定、转子绕组的磁链方程可以表达为

即 ψ=L·I（2-2）

式中，；为6×6矩阵，其中各元素分别为各绕组的自感和互感。

实际上，可以认为双馈发电机中交链各绕组的磁通只有两类：一类是只与定子或转子某一绕组交链而不穿过气隙的漏磁通；另一类是穿过气隙的公共主磁通。用L_ls表示定子漏磁通所对应的定子漏感值，用L_lr表示转子漏磁通所对应的转子漏感值，用L_ms表示与主磁通对应的与定子一相绕组交链的最大互感磁通所对应的定子互感值，用L_mr表示与主磁通对应的与转子一相绕组交链的最大互感磁通所对应的转子互感值（由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，所以可认为L_ms=L_mr）。那么定子、转子的自感分别为

定子三相A、B、C之间的互感与穿过气隙的公共主磁通相对应，由于定子A、B、C三相绕组轴线在空间的相位相差120°，所以有

相间互感除由主磁通引起外，还包括槽漏磁、端部漏磁及谐波漏磁引起的互感，考虑漏磁互感之后，式（2-4）只是近似地相等。

同理，转子三相绕组a、b、c之间的互感为

最后，定子与转子之间的互感当然也是与穿过气隙的公共主磁通相对应。图2-1中定子A相轴线与转子a相轴线之间的夹角为θ，故有

式中，L_sr为θ=0时定子A相绕组与转子a相绕组之间的互感。

如果用λ表示气隙磁路的磁导，定子每相绕组的等效匝数为N₁，转子每相绕组的等效匝数为N₂，则由电感的基本定义（L=ψ/i）可以得到以下关系式：

由式（2-7）可得到

将式（2-3）～式（2-6）中自感、互感表达式代入式（2-1），可得到

把转子电流i_a、i_b、i_c和转子磁链ψ_a、ψ_b、ψ_c折算到定子侧，折算的原则是转子的匝数从N₂变为N₁，折算前后磁链不变，那么折算后的转子电流和磁链为

把式（2-9）中的ψ_a、ψ_b、ψ_c和i_a、i_b、i_c用式（2-10）中折算后的磁链和电流来代换，再注意到关系式（2-8），则式（2-9）变为

式中，L_l′_r为折算到定子侧的转子漏感，

（二）电压方程

定、转子绕组的电压方程可以表达为

把转子电压u_a、u_b、u_c，转子电流i_a、i_b、i_c，转子磁链ψ_a、ψ_b、ψ_c以及转子电阻R_r都折算到定子侧，则上式变为

式中，R_r′为折算到定子侧的转子电阻，R_r′=R_r（N₁/N₂）2；u′为转子各绕组折算后的电压，u′=（N₁/N₂）u。

为了后面书写方便，将式（2-11）和式（2-12）中的经过折算的转子电压、电流、磁链、电阻R_r′以及漏感L_lr′不再加写符号“′”，但应留意其中的转子电压、电流、磁链、电阻及漏感都是已经折算到定子侧的数值。

把式（2-11）和式（2-12）写成以下分块矩阵的形式：。

式中，

即

式中，定子自感阵

转子自感阵

转子对定子的互感阵

定子对转子的互感阵

可见，M_rs=M_sr^T。把磁链方程（2-13）代入电压方程（2-14），得到

式中，Z为阻抗阵，

（三）转矩方程

电机中的磁场储能W_m等于电机中的全部n个载流回路在电流从零开始建立磁场的过程中，由外电源注入系统的净功（扣除电阻损耗后的净功），即

根据能量守恒定律可以断定：W_m与电流i_K的建立次序、方式无关。如果取所有电流都是成比例地增长到终值的，那么ψ_K=a_Ki_K。故有

式中，a_K为比例系数。

双馈发电机中定、转子共有六个绕组（载流回路），可令I=（i_Ai_Bi_Ci_ai_bi_c）^T，ψ=（ψ_Aψ_Bψ_Cψ_aψ_bψ_c）^T，则，所以

利用式（2-2）得到

式中，。

如图2-2所示为异步电机中的能量关系图。根据能量守恒原理，在异步电机运行时，电源送入的净功dW_e应等于电机中磁场能量的增量dW_m加上输出的机械功dW_mech，即

又

所以

式中，T_e为异步电机电磁力矩；dθ_m为机械角位移。

由式（2-23）和式（2-24）表明，在电流恒定的条件下，磁场能之增量刚好等于外电源注入的净功的一半，外电源注入的另一半净功就等于电机输出的机械功dW_mech。

图2-2 异步电机中的能量关系图

由式（2-23）和式（2-24）可求得电磁转矩T_e为

这就表明，电磁转矩T_e等于电流不变时磁场储能对机械角位移的偏导数。如果令ψ_K=const，则，那么0，所以

这就是说，当系统ψ_K=const时，电源没有任何净功送入系统，系统电磁转矩T_e所做的功等于磁场能量的减少。而电磁转矩T_e等于磁链不变时磁场储能对机械角位移的偏导数，T_e的正值对应于磁场能量的减少。

这样，得到两种电磁转矩的计算公式，即

式中，n_p为电机的磁极对数；θ为电角位移，θ=n_pθ_m。

把式（2-22）的W_m代入式（2-25c），考虑到电感关系式（2-15），则可得到

把式（2-17c）和式（2-17d）的M_sr和M_rs代入式（2-26），可得到

根据载流导体在磁场中受力的基本公式，亦可直接得到式（2-27）。

在一般情况下，电机的转矩平衡方程式是

式中，T_L为负载阻力矩；J为机组的转动惯量；D为与转速成正比的摩擦及风阻阻力矩系数；K为扭转弹性力矩系数。

对于异步电机传动系统，上式中K=0，又ω_r=dθ/dt（ω_r为转子旋转电气角速度），所以

如果把摩擦阻力矩也归并到T_L中去，那么转矩方程式变为

式（2-18）、式（2-27）、式（2-29）组成了A、B、C静止坐标系统中双馈发电机的基本方程式。由于式（2-18）中的阻抗阵Z是θ角的周期性函数，自然也就随时间变化，故而在A、B、C坐标系统中双馈发电机基本方程式的求解是十分困难的。所以在工程实践和计算机仿真中这种数学模型较少被采用。

早在20世纪20年代，科学家们就开始了电机理论的新探索，其中Park R H提出了一种新的电机分析理论，他设计了一种新的变量变化规则，实际上就是用同步转速随转子旋转的假想绕组的变量来代替与同步电机定子绕组相关联的变量，其本质是将定子变量变换到或归算到一个固定在转子上的同步旋转参考坐标系上。通过这种变换（Park变换），消除了由于电路的相对运动和电路磁阻的变化引起的全部时变电感。30年代，Stanley H C指出通过将转子变量变换成与假想的静止绕组关联的变量，异步电机的电压方程中的时变电感可以被消除，其本质是转子变量被变换到一个固定在定子上的静止参考坐标系（α、β、0变换）。后来，Kron G提出了一个将定子和转子变量共同变换到一个与旋转磁场一起运动的同步旋转参考坐标系的变换（d、q、0变换）。这种坐标变换的优点是当A、B、C坐标系中的变量为正弦函数时，d、q坐标系中的变量为直流量，目前大多数双馈发电机的计算机仿真建模选用这种模型。Brereton D S提出了一个将定子变量变换到固定在转子上的旋转参考坐标系上的变换，后来Krause和Thomas指出通过将定子和转子变量归算到一个共同的以任意转速旋转的参考坐标系上，都可以把时变电感消除。通常采用各种坐标变换来改造式（2-18）和式（2-27），使双馈发电机的动态特性的分析和求解变得比较容易进行。通过这些线性变换，能得到一个具有清晰物理意义的简化形式，在新的坐标系统中，双馈发电机的基本方程式被称为该坐标系统中双馈发电机的数学模型。下面将对坐标变换和两相同步旋转坐标系上双馈发电机的数学模型进行较为详细的介绍。

三相静止坐标系下交流励磁双馈发电机的多变量数学模型优化

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