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相量分析法：简化正弦稳态电路分析

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：无论单相还是三相系统，只要是正弦稳态电路，都可采用相量分析法对电路进行分析计算。采用相量符号而不是用数学表达式给出正弦电压和电流的时间函数，可以简化对电力系统的分析。因此，相量法虽然实用，却只在稳态条件下才能成立。相量图是定性分析正弦稳态电路的重要工具。图2-3展示了正弦电压和电流的时间函数及其在时刻ωt+φu=0时对应的相量表示。

无论单相还是三相系统，只要是正弦稳态电路，都可采用相量分析法对电路进行分析计算。采用相量符号而不是用数学表达式给出正弦电压和电流的时间函数，可以简化对电力系统的分析。该方法自1893年由德裔美国电动机工程师Charles Steinmetz提出后，得到了广泛应用。假设正弦电流在时域中的表达式为

则根据欧拉公式，正弦电流i（t）又可表示为

式中，是一个复数，为正弦电流i（t）对应的相量，其模为I，相角为φ。

相量就表示为

同理，也可写出正弦电压的相量，若正弦电压为

则其相量表示为

正如式（2-11）和式（2-13）所示：要将正弦波形表示为一个相量，仅只有当它为一个具有单一角频率ω的正弦波时才能成立，并被“冻结”在一个完整的周期上。因此，相量法虽然实用，却只在稳态条件下才能成立。

在正弦稳态电路中，各支路的电流或电压都是与电源同频率的正弦量。若考虑相量法求解正弦电流或电压，只需确定它的有效值和初相位就可以了。正弦电流或电压的相量可以在复平面上用图形来表示，称之为相量图。相量图是定性分析正弦稳态电路的重要工具。上述正弦电流、电压相量图如图2-2所示。

图2-2 不同坐标系下的相量表示

若将极坐标系下的相量表示法转化为三角形式，则

式中，U和I为正弦电压和电流时间函数的有效值；φ_u和φ_i分别是某给定时刻下的相角。

传统上以逆时针方向为相角的正方向。图2-3展示了正弦电压和电流的时间函数及其在时刻ωt+φ_u=0时对应的相量表示。U和I之间的相位差由φ=φ_u-φ_i给出。

图2-3 相量与正弦时间函数之间的关系

1.基尔霍夫定律的相量形式

由于同频正弦电流或电压的代数和可以通过其对应的相量的代数和来求解，因此可以导出正弦交流电路中基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）的相量形式为

上述式子表明，流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍然满足KVL。

2.欧姆定律的相量形式

正弦稳态电路中，电路元件上的电压和电流也满足欧姆定律的表现形式。若用相量的形式来表现，有如下式子成立：

由上式，可以引出在正弦交流系统中的另一个概念：复阻抗。如对于一个RLC串联支路，端电压相量与电流相量之比等于一个复数，被定义为复阻抗Z，可表示为

由上式可知，流过感性负载的电流滞后于端电压，而流过容性负载的电流超前于端电压。因此，上述复阻抗对于感性负载将产生一个正的阻抗角。由此可见，电路元件上的电压和电流相量之间的相角会随着负载性质的不同而产生差异。以下就不同负载对瞬时功率的影响进行探讨。

（1）阻性负载

正弦稳态电路中，阻性负载下的电压和电流相量满足关系式

时域波形图及相量图如图2-4所示。

图2-4 阻性负载下的时域波形与相量图

瞬时功率为

上述式子表明，阻性负载下，瞬时功率以2倍的系统频率交变，且瞬时功率始终大于零。此时，负载始终吸收（消耗）功率。

（2）感性负载

在正弦稳态电路中，当负载为感性负载时，负载下的电压相量在相角上超前电流相量，若为纯感性负载，则电压相量和电流相量之间满足关系式

式中，X_L=ωL=2πfL，称为感抗。

时域波形图及相量图如图2-5所示。

图2-5 纯感性负载下的时域波形与相量图

此时，流过感性负载的瞬时功率为

上述式子表明，流过电感的瞬时功率以系统2倍频进行变化，其值在一周期内有正有负，周期内的平均值为零。

（3）容性负载

在正弦稳态电路中，当负载为容性负载时，负载下的电流相量在相角上超前电压相量，若为纯容性负载，则电压相量和电流相量之间满足关系式

式中，，称为容抗。

时域波形图及相量图如图2-6所示。

瞬时功率为

上述式子表明，流过电容的瞬时功率与电感一样，以系统2倍频进行变化，其值在一周期内有正有负，周期内的平均值为零。

图2-6 纯容性负载下的时域波形与相量图

3.复功率与功率因数

在正弦交流电路系统中，电压相量和电流相量的乘积可定义为系统的复功率S。为了与式（2-6）给出的无功功率的符号惯例保持一致，即使对应感性负载无功功率为正，其复功率中电流相量的定义应当采用电流的共轭。因而，复功率表示为

由上式可以看出，复功率的绝对值等于式（2-7）中定义的视在功率，即

其中的cosφ等于有功功率与视在功率的比值，并被称为功率因数λ，其被定义为

复功率和功率因数的概念常可用著名的功率三角形来表示，如图2-1所示。根据功率三角形示意图，并结合上述功率和功率因数的定义，可以得出以下结论：如果负载不是纯阻性负载，则无功功率Q就不为零，有功功率P就小于视在功率S，功率因数就小于1。

以上讲述了利用相量法对正弦单相交流系统功率的定义和计算。从上述过程可以看出，相量法具备以下特点：

1）它把时域的问题转变为复频域内的问题。

2）它把微积分方程的运算变成了复数方程运算。

3）可以把直流电路的分析方法直接用于正弦交流稳态电路分析。

同时，也应该看到相量法也有其局限性，主要表现在相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路的分析。