时域加权重叠LMS算法（WO-LMS）的优化

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：将这种对信号的加权重叠预处理思想运用于以LMS为准则的自适应滤波算法中，提出加权重叠LMS自适应滤波算法。与LMS相比，它提高了收敛速度同时使稳态失调大为降低。结合横向LMS滤波器结构，得到相应的WO-LMS系统如图9-9所示。图9-9 WO-LMS自适应滤波器信号流图图9-9中，x=[x…

由第4章中内容可知，任何正交变换域ap在时域中都可以等效为一个FIR滤波器，与传统滤波器不同的是，在输入端不是原始信号的直接输入而是首先对它进行加权后再重叠，得到的结果作为滤波器的实际输入。将这种对信号的加权重叠预处理思想运用于以LMS为准则的自适应滤波算法中，提出加权重叠LMS自适应滤波算法（WO-LMS）。与LMS相比，它提高了收敛速度同时使稳态失调大为降低。

结合横向LMS滤波器结构，得到相应的WO-LMS系统如图9-9所示。

图9-9 WO-LMS自适应滤波器信号流图

图9-9中，x（n）=[x（n-N+1）…x（n-1）x（n）x（n+1）…x（n+N-1）]^T是系统在n时刻的输入，N是系统权的个数。x′（n）是x（n）的加窗重叠处理。y（n）是系统在n时刻的输出，d（n）是期望响应，e（n）是n时刻的误差，h是系统冲击响应，μ是步长。由图9-9可以得到如下关系式：

式中，O是重叠矩阵；W是加权矩阵，显然加权矩阵等于延迟窗C构成的对角阵。将式（9-34）分别代入到式（9-35）和式（9-37）中并整理得：

y（n）=（E·h_n）^T x（n）（9-38）

h_n+1=hn⁺²μe（n）E^T·x（n）（9-39）

O和W的乘积即为全相位转移矩阵E的转置，即：

结合式（9-35）、式（9-36）和式（9-38），可求得均方误差为

E[e²（n）]=E[（d（n）-h^T_nE^Tx（n））²] （9-41）

将式（9-41）展开整理得：

E [e² （n）]=E [y² （n）]-2 h^T_nE^TP+h^T_nE^TRE h_n （9-42）

式中，P=E[d（n）x（n）]；R=E[x（n）x^T（n）]。上式对h_n求偏导等于0，求出使均方误差最小的冲击响应h*满足：

E^TREh*=E^TP （9-43）

用响应误差向量Δh_n=h_n-h*代入式（9-42），并结合式（9-36）和式（9-38）得到：

h_n+1=[I-2μ·E^Tx（n）x^T（n）E]（Δ h_n+h*）+2μ·E^Tx（n）d（n）=[I-2μ·E^Tx（n）x^T（n）E]Δ h_n+h*+2μ·E^T[x（n）d（n）-x（n）x^T（n）E h*]⇒Δ h_n+1=[I-2μ·E^Tx（n）x^T（n）E]Δ h_n+2μ·E^T[x（n）d（n）-x（n）x^T（n）E h*] （9-44）

式中，Δh_n+1=h_n+1^-h*表示响应误差矢量的更新值。为了分析方便，假定Δh和x（n）相互独立。对式（9-44）两边取数学期望得到：

E[Δh_n+1]=E{[I-2μ·E^Tx（n）x^T（n）E]Δ h_n}+2μ·E{E^T[x（n）d（n）-x（n）x^T（n）E h*]}=（I-2μ·E^TE[x（n）x^T（n）]E）E[Δ h_n]+2μ·E^TE[x（n）d（n）]-2μ·E^TE[x（n）x^T（n）]E h*=（I-2μ·E^T RE）E[Δ h_n]+2μ（E^T P-E^T RE h*）（9-45）

由式（9-43）可知式（9-45）的第二项等于0矩阵，所以又可以简化为

E[Δ h_n+1]=（I-2μ·D）E[Δ h_n] （9-46）

式中，D=E^T RE。显然，D是Hermite型矩阵。由LMS收敛准则知，当步长满足下式时式（9-46）收敛：

0<μ<1/λ_max （9-47）

式中，λ_max是D的最大特征值。由矩阵理论可知：

tr（D）=tr（E^T RE）≤tr（E^T E）tr（R）（9-48）由全相位转移矩阵定义，可知：

结合式（9-48）和式（9-49）得：

将式（9-50）和式（9-47）结合得：

同理可以求出ap^1sd对应自适应滤波算法收敛的步长范围。当N相当大时，进一步放小不等式得到3种步长的范围依次为（各种窗经过归一化处理）：

上面就是WO-LMS算法收敛的条件。

值得注意的是，LMS算法的收敛性能依赖输入信号的谱动态范围。谱动态范围越大的收敛性越差，越小则收敛性能越好。WO-LMS算法由于对输入信号进行了加权重叠处理，使算法的收敛性得到改善。

由上面的分析可知，加权重叠处理前后系统的收敛性能分别取决于相关矩阵R_xx和R_x′_x′的特征值分布。令tr（M）与det（M）分别表示N阶方阵M的迹和行列式值，则其最大与最小特征值λ_max、λ_min有如下关系：

λ_max≤tr（M）λ_min≥det（M）N>2 （9-53）

这样，有

可以作为矩阵M谱动态范围的上限。利用上述结果由式（9-38）可知，

根据矩阵理论的一般知识，有

tr（E^TR_xxE）≤tr（E^TE）tr（R_xx）（9-56）

对于ap^1nsd的转移矩阵E具有“双对角”形状，对角线上的元素等于卷积窗C的对应元素。以N阶ap¹ⁿ为例，令E=[E₁，E₂]，其中：

设矢量x（n）的前N个输入x₁（n）=[x（n-N+1）…x（n-1）x（n）]^T和后N-1个输入x₂（n）=[x（n-1）x（n-2）…x（n-N+1）]^T的自相关和互相关分别为r₁₁、r₂₂与r₁₂、r₂₁，则

按照LMS算法给出的充分条件，x₁和x₂的相关性很小即认为r₂=r₂^T1≈0。所以

det（R_xx）≈det（r₁₁）det（r₂₂）（9-59）

加权重叠信号x′的自相关等于：

又由于r₁₁、r₂₂均为正定矩阵且E₂为行线性相关，因此

所以，有

det（R_x′_x′）=det（E^T₁ r₁₁E₁）=det（r₁₁）det（E^T₁E₁）（9-62）

由相关的定义可知，

det（E^T₁ E₁）=[（N-1）！]²>Ndet（r₂₂）⇒det（R_x′_x′）≥Ndet（R_xx）（9-63）

结合上面各式可得，

当N较大时，由式（9-64）可得以下关系：

式（9-65）表明输入信号经过加权重叠处理后相关矩阵的特征值分散程度减小，因此提高了收敛速度。由式（9-52）又可看出由于步长减小，所以稳态误差也较小于LMS算法。上面对ap¹ⁿ的情况进行了分析，对于ap^1s结论仍然成立；对于ap^1d将无法保证式（9-65）成立，因此收敛速度比LMS低但稳态误差比无窗和单窗系统都低。另一方面，滤波器阶数的大小和正交基的选择对W-O算法的改善程度都有影响，这将在下面的实验中得以证实。

时域加权重叠LMS算法（WO-LMS）的优化

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