由于不同的分段起点，可能存在N个不同的数据段都包含待插值的样点I，即将产生N个不同的插值结果，全相位插值就是取这N个插值的均值作为最终结果。正反变换定义如下：式中Walsh变换基只有±1离散值，傅里叶变换基有复数，因此选择DCT基作为插值的正交变换。图8-23 八点全相位DCT内插核时频图（N=5）对与上面实验中相同的Chirp信号进行插值重建，实验结果如图8-24所示。......
2023-06-23
重新定义Ⅱ型全相位插值：精准还原音乐细节的必备技术
【摘要】：Ⅰ型全相位插值建立在正交基的扩展尺寸上，即把内插点看作正交基新增变换点的函数。图8-27 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位DCT内插器时频图（N=5）一般N阶的Ⅱ型全相位内插核的点数为2N-1个且具有严格的线性相位。以上针对2∶1下取样信号采用全相位内插实现了信号重建。对于更高比例的下取样信号，Ⅰ型DCT全相位内插器可以通过增加β矩阵的行数来求取模板，对于Ⅱ型全相位内插器有两种方
Ⅰ型全相位插值建立在正交基的扩展尺寸上，即把内插点看作正交基新增变换点的函数。为了保证数据的相位不变，这种方法限定了正交基的类型，DFT和DWT就无法得到正确的插值形式。Ⅱ型全相位克服了这个问题，其基本思想是建立全相位低通滤波器，并按照二维全相位模板形成的方法求出对应的一维模板。全相位低通滤波器的设计在第2章中已经讨论过，正交基选择度很大，而且可以通过加窗进一步改善内插性能。设计步骤如下：
1）构造传输特性序列H；
2）选择无窗、单窗和双窗类型的基窗；
3）按照式（8-70）、式（8-75）构造DWT、DFT和DCT模板T。
以N=5时设计DFT模板为例，设定低通序列H=[10.5000.5]，单窗和双窗类型选择三角窗作为基窗，设计得到的3种全相位模板分别为
Tn=[0.0873 0.0255 0.0382 0.3491 0.6667 0.3491 0.0382 0.0255 0.0873]
Ts=[0.0485 0.0212 0.0424 0.3879 0.6667 0.3879 0.0424 0.0212 0.0485]
Td=[0.0263 0.0153 0.0383 0.4201 0.7622 0.4201 0.0383 0.0153 0.0263]
DFT基三种模板的时频图如图8-25所示。
图8-25 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位DFT内插器时频图（N=5）
图8-25 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位DFT内插器时频图（N=5）（续）
按照同样方法可求得DWT三种模板的时频图如图8-26所示。三种模板为
Tn=[0.0614 0 0.0337 0.4049 0.8435 0.4049 0.0337 0 0.0614]；
Ts=[0.0735 0.0224 -0.0449 0.4490 1.0102 0.4490 -0.0449 0.0224 0.0735]；
Td=[0.0706 0 0.0204 0.4089 0.9711 0.4089 0.0204 0 0.0706]。
图8-26 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位DWT内插器时频图（N=5）
图8-26 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位DWT内插器时频图（N=5）（续）
DCT3种模板的时频图如图8-27所示。三种模板为
Tn=[-0.0229 -0.0601 0.0642 0.5188 0.5103 0.5188 0.0642 -0.0601 -0.0229]；
Ts=[-0.0209 -0.0456 0.0649 0.5015 0.4143 0.5015 0.0649 -0.0456 -0.0209]；
Td=[-0.0228 -0.0315 0.0590 0.4952 0.4189 0.4952 0.0590 -0.0315 -0.0228]。
图8-27 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位DCT内插器时频图（N=5）
一般N阶的Ⅱ型全相位内插核的点数为2N-1个且具有严格的线性相位。内插时只需将中心点对准待插位置，模板其余各点依次与相邻已知信号点相乘并求和即得内插结果。分别使用上面9种模板对sinc信号进行1/2抽取恢复，实验结果如图8-28所示。
图8-28 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位内插实验结果
图8-28 九点Ⅱ型无窗、单窗和双窗全相位内插实验结果（续）
实现上述结果的MATLAB代码如下：
以上针对2∶1下取样信号采用全相位内插实现了信号重建。对于更高比例的下取样信号，Ⅰ型DCT全相位内插器可以通过增加β矩阵的行数来求取模板，对于Ⅱ型全相位内插器有两种方式来实现：一是设计更大长度的传输特性H，这样内插需要参考的信号也相应地增加，但与内插点距离增大的像素之间的相关性也降低，因此这种方式的内插效果并不十分理想；二是将内插点看作窗的函数，通过窗函数映射不同位置内插点的加权值而构造模板。
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