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2023-11-07
理论与实践：1/K内插模板设计在正交变换下的应用
【摘要】：假设输入图像大小为N×N，则在某正交变换对α和β下1/K内插模板设计过程如下：1）写出1/K单位抽取算子d，d中只有N2/K个元素为1而其余为0。离散沃尔什变换简单、直观，其正交基只有两种状态，用它来表示图像的物理性质较为清楚，因此用沃尔什变换设计的各种图像处理模板系数都是有理数，且规则性强、易于归纳总结。用离散傅里叶变换设计的模板系数是无理数，但它却有明确的物理意义。
在第7章中分析并实现了二维信号的抽取和内插，信号处理过程可用图8-2表示。
图8-2 图像的亚奈取样和基于模板的重建
图8-2表示原始图像X经过单位抽取算子d点乘后得到抽取图像A，通过选定某变换域并定义滤波器H来建立内插模板T，由T和D做卷积就可重建信号X。假设输入图像大小为N×N，则在某正交变换对α和β下1/K内插模板设计过程如下：
1）写出1/K单位抽取算子d，d中只有N2/K个元素为1而其余为0。求出d的调制点矩阵D，该矩阵只有K个元素为1而其余为0。D与d互为变换对，即
2）写出1/K抽取图像A。A中只有N2/K个图像元素保留而其余均为0。
A=X☉d （8-3）
A的变换域谱PA中由K个X谱组成，这K个A谱应没有重叠部分，否则会产生混叠误差。由正交变换域规律，在时域中相乘对应变换域卷积有
PA=X
D （8-4）
3）设计出从PA谱中滤出X谱的滤波器H，应符合以下条件：
PX=H☉PA （8-5）
4）H的逆变换即是非重叠内插模板T。内插重构图像X′可由T和A卷积得到，即
X′=T
A （8-6）
上面步骤中最关键的是设计滤波器H，显然H是低通滤波器，且为了保证A中的保留数据经过式（8-6）处理后不发生改变，模板T应满足一定的条件。假设X是全1的矩阵，结合式（8-3）和式（8-6）得到：
X=T
d=>PX=H☉D （8-7）
直流矩阵X的变换域谱PX在（0，0）处有唯一非零值1。此外，模板T与抽取算子d的取样处的点乘应等于1而其余位置为0（O是全1矩阵，Z是O的反变换），即
Z=T☉d=>O=H
D （8-8）
基于不同的正交变换对应不同的滤波器，变换域中的数值含义也不相同，但它们都从不同的基函数说明了信号的频率分布。在众多正交变换中，最主要的是傅里叶、沃尔什和DCT变换。离散沃尔什变换简单、直观，其正交基只有两种状态，用它来表示图像的物理性质较为清楚，因此用沃尔什变换设计的各种图像处理模板系数都是有理数，且规则性强、易于归纳总结。DCT变换避免了复数运算且能直观反映出能量分布规律，在MPEG-X等压缩算法中常用。用离散傅里叶变换设计的模板系数是无理数，但它却有明确的物理意义。下面分别选定二维Walsh、傅里叶和DCT正交变换域，构造1/2、1/3、1/4和1/8内插模板。
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2023-10-21
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