全相位半带滤波器的谱分解技术

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：长度为N的单边带H0按上面3种方法设计生成的ap半带滤波器H的长度为2N-1。在满足条件1、2、3下，ap1 nsd半带滤波器H、单边带H0和卷积窗C的零点分布如图7-22所示。ap1ns半带滤波器的H零点由单位圆上和内及对应的倒数组成，而ap1 d半带滤波器的H零点只由单位圆内及对应的倒数组成。即把半带滤波器H进行分解后找到所有圆内的零点就可以确定分析低通滤波器h0，再按照PR条件即式关系依次求出分析高通滤波器h1，综合滤波器f1和f2。

长度为N的单边带H₀按上面3种方法设计生成的ap半带滤波器H的长度为2N-1。对于条件1和2，h（n）是实系数偶对称的，即h（n）=h（-n）。假定z_k是H（z）的零点，易知z_k^-1也是其零点；对于条件1、2和3，h（n）均满足共轭偶对称，即h（n）=h（-n），所以，对于H（z）的零点z_k有

即z_k和（z_k）-1也是H（z）的零点。所以，对于条件1、2和3下的ap全相位滤波器零点以z_k、z_k^-1、z_k、（z_k）^-1的双对形式出现；若z_k在单位圆上则以z_k、z_k的单对形式出现；若z_k等于±1则重合为单点，若为其他实数，则以z_k、z_k^-1单对形式出现。

在满足条件1、2、3下，ap^{1 nsd}半带滤波器H、单边带H₀和卷积窗C的零点分布如图7-22所示（L=4，基窗为三角窗和矩形窗）。

图7-22 条件1、2、3下ap^{1 nsd} H₀/C/H的零点分布

图7-22 条件1、2、3下ap^{1 nsd} H₀/C/H的零点分布（续）

由图（7-22）实验结果可以得到如下结论：H₀的单位圆上零点个数由H₀零值个数决定，即条件1下等于N/2-1，条件2下等于N/2，条件3下等于N/2，且零点均匀分布；卷积窗C_n的零点均匀分布且是二重的，C_s的零点分布位置同C_n但不同位置的幂重数发生了改变，C_d的零点位置位于C_n的两相邻点中间，且幂重数改变的同时将新生靠得很近的零点。需要指出的是，采用的基窗类型不同，3种卷积窗的零点分布也会发生改变。ap^1ns半带滤波器的H零点由单位圆上和内及对应的倒数（单位圆内和外）组成，而ap^{1 d}半带滤波器的H零点只由单位圆内及对应的倒数（单位圆外）组成。实现上述实验的MATLAB代码如下：

由上面的分析易知，长度为2N-1的ap半带滤波器具有2N-2个零点，且均以倒数对的形式存在，一半分布在单位圆内，另一半分布在单位圆外。这样，单位圆内N-1个零点可生成长度为N的滤波器H₀（z），单位圆外的N-1个零点生成的滤波器则可记为H₀（z^-1），ap半带滤波器H（z）可写成如下形式：

式（7-59）中，

(https://www.chuimin.cn)

令z=1，结合式（7-59）和式（7-60）得：

即把半带滤波器H进行分解后找到所有圆内的零点就可以确定分析低通滤波器h₀，再按照PR条件即式（7-34）关系依次求出分析高通滤波器h₁，综合滤波器f₁和f₂。但对于ap^{1 s}分布在单位圆上的零点，除了±1点外都是单点，如果仍然按照式（7-59）分解则得到的h₀不是实数。由图（7-22）观察3种条件下ap^{1 s}的零点，单位圆上零点位置相近，因此，这里采纳隔1取1的方式形成H₀，这样σ的形成也要进行调整。在满足条件1、2、3下，ap^{1 nsd}分析滤波器H₀/H₁和综合滤波器F₀/F₁如图7-23所示（L=4，基窗为三角窗和矩形窗）。

图7-23 条件1、2、3下ap^1nsd分析和综合滤波器

图7-23 条件1、2、3下ap^1nsd分析和综合滤波器（续）

分析图7-23中的实验结果，我们可以得到如下结论：3种条件下，ap¹ⁿ的重构误差精度达到10^-8～10^-7 dB，ap^{1 d}的重构误差则达到了10^-13 dB，ap¹ⁿ的重构误差精度最低，但从子带互补性方面即H₀+H₁，单窗具有最低泄露；横向对比，条件1下滤波器特性优于条件2，而条件2优于条件3。实现上述实验的MATLAB代码如下：

全相位半带滤波器的谱分解技术

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