二维信号的分析方法

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：二维信号的抽取和内插分别在行和列方向上进行，以Mr和Mc为行列抽取因子的抽取器及以Lr和Lc为行列内插因子的内插器如图7-9所示。式表明，二维抽取后的频谱等于原信号频谱分别在行列方向上膨胀Mr和Mc倍后再分别平移2kr π和2kc π得到的MrMc个谱之和，幅度则为原来的1/MrMc。同一维抽取和内插处理相同，为消除频谱混叠及正确还原，二维信号也有相应的抽取和内插滤波器。

二维信号的抽取和内插分别在行和列方向上进行，以M_r和M_c为行列抽取因子的抽取器及以L_r和L_c为行列内插因子的内插器如图7-9所示。

图中，x（n_r，n_c）是输入信号，y_D（n_r，n_c）和y_E（n_r，n_c）是抽取器和内插器的输出，M_r、M_c和L_r、L_c均是整数。抽取器的输入输出关系表达式如下：

y_D（n_r，n_c）=x（M_rn_r，M_cn_c）（7-9）

即信号通过抽取器后，行方向上只有在M_r的整数倍以及列方向上在M_c的整数倍时刻点被保留下来。例如（M_r，M_c）=（3，2）时的抽取如图7-10所示。

图7-9 二维抽取器和内插器

图7-10 （M_r，M_c）=（3，2）二维抽取器x和y_D的映射关系

二维内插器的输入输出关系表达式如下：

例如（L_r，L_c）=（2，3）时的二维内插如图7-11所示。

图7-11 （L_r，L_c）=（2，3）二维内插器x和y_E的映射关系

从频谱上来分析，二维内插器的输入和输出关系为

式（7-11）说明，内插后的频带在行方向压缩为原来的1/L_r而列方向上压缩为1/L_c，即总体带宽为原来的1/L_rL_c。所以，在[0，2π）×[0，2π）二维空间除了在（0，0）点处的压缩谱外，还在（0，2π）×（0，2π）间产生L_rL_c-1个镜像谱。谱关系如图7-12所示。

图7-12 （L_r，L_c）=（2，2）二维内插器频谱特性

二维抽取器的输入和输出谱关系推导如下：

定义梳状序列C_Mr，Mc（n_r，n_c）如下：

则有

梳状序列可以表示为

将式（7-14）和式（7-15）代入到式（7-12）得到：

式（7-16）表明，二维抽取后的频谱等于原信号频谱分别在行列方向上膨胀M_r和M_c倍后再分别平移2k_r π和2k_c π得到的M_rM_c个谱之和，幅度则为原来的1/M_rM_c。（M_r，M_c）=（2，2）时抽取后谱关系如图7-13所示。从图中可以看出，因为X的截止频率ω_r（ω_c）＞π/2，所以Y_D发生了重叠。