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一维信号分析方法介绍

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：图7-1 抽取器和内插器yD=x （7-1）即信号通过抽取器后，只有在M的整数倍时刻点被保留下来。式（7-3）说明，内插后的信号带宽压缩为原来的1/L，周期为2π/L。式（7-8）表明，抽取后的频谱等于原信号频谱膨胀M倍后再分别平移2kπ得到的M个谱之和，幅度则为原来的1/M。图7-8 一维信号抽取和内插实验图7-8 一维信号抽取和内插实验

多率系统中最基本的运算就是抽取和内插，目的是为了满足各处需要不同的抽样率，以利于信号的简化运算处理、编码、传输和存储。使抽样率降低的运算称为抽取，实现此转换的处理单元称为抽取器；使抽样率升高的运算称为内插，对应的单元称为内插器。抽取因子为M的抽取器和内插因子为L的内插器如图7-1所示。图7-1中，x（n）是输入信号，y_D（n）和y_E（n）是抽取器和内插器的输出，M和L是整数。抽取器的输入输出关系表达式如下：

图7-1 抽取器和内插器

y_D（n）=x（Mn）（7-1）

即信号通过抽取器后，只有在M的整数倍时刻点被保留下来。例如M=2时抽取后的x（n）和y_D（n）的关系如图7-2所示。

图7-2 M=2时抽取后的x（n）和y_D（n）的映射关系

内插器的输入输出关系表达式如下：

例如L=2时内插后的x（n）和y_E（n）的关系如图7-3所示。

图7-3 L=2时内插后的x（n）和y_E（n）的映射关系

内插器是通过x（n）相邻点之间通过加L-1个0的方式得到y_E（n）即内插器没有损失任何信息，所以x（n）可以利用y_E（n）完全恢复。从频谱上来分析，内插器的输入和输出关系为

式（7-3）说明，内插后的信号带宽压缩为原来的1/L，周期为2π/L。所以，在[0，2π）间除了在0点处的压缩谱外，还在（0，2π）间产生L-1个镜像谱。谱关系如图7-4所示。

图7-4 L=2时内插器的频谱特性

抽取器的输入和输出谱关系推导如下：

定义梳状序列C_M（n）如下：

则有

x（k）=C_M（n）x（n）k=nM，n∈（-∞，+∞）（7-6）梳状序列可以表示为

将式（7-6）和式（7-7）代入到式（7-4）得到：

式（7-8）表明，抽取后的频谱等于原信号频谱膨胀M倍后再分别平移2kπ得到的M个谱之和，幅度则为原来的1/M。M=2时抽取后谱关系如图7-5所示。可以看出，因为X（e ^jω）的截止频率ω_c>π/2，所以Y_D（e ^jω）发生了重叠。

为避免频谱重叠，要求x（n）为低通带限信号且满足|ω_c|≤π/M。在应用中，抽取器前往往连接一个低通滤波器，称之为抽取滤波器，其频率特性如图7-6b所示。完成的抽取过程如图7-6a所示。

图7-5 M=2抽取器频谱特性

图7-6 带内插滤波器的内插器及滤波器特性

滤波器的作用是消除混叠误差。同样，应用中的内插器后面常连接一个低通内插滤波器，其主要作用是消除频谱镜像，完整的内插电路和滤波器特性如图7-7所示。

图7-7 带抽取滤波器的抽取器及滤波器特性

利用MATLAB实现M=4的抽取和L=2的内插过程及谱分析代码如下：

实验结果如图7-8所示。

图7-8 一维信号抽取和内插实验