全相位数字信号处理方法及MATLAB实现：参数模型法

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：用参数模型法进行谱估计首先要选择一种适合被测信号的参数模型，其次用适当的方法估计出模型的参数，最后利用所得到的模型参数计算出信号的谱。因此能否正确选择信号的模型，确定模型的阶数，以及估计模型的参数是决定参数模型法谱估计质量的关键。实际中的许多随机离散时间信号x，都可以表示为有理参数模型。有理系数模型中最常用的是AR模型。，q，则称这种模型为AR模型。

现代谱分析方法力图克服经典法的缺点，利用一些有关信号本身的知识，对被窗函数所截取的有限信号以外进行某种预测或外推，从而提高谱估计的质量。其中突出的优点就是提高了谱的分辨率和谱的真实程度。

模型法是现代谱估计的主要方法，模型法的共同之处是把一个具有许多变量的复杂过程化简为一个只用少量阐述就可以表示的简单过程。参数模型可分为两大类，一类是有理参数模型，这类模型可以用有理系统函数来表示，所求出的功率谱是连续的，也叫有理谱。它包括自回归（AR）模型（全极点模型）、滑动平均（MA）模型（全零点模型）和自回归滑动平均（ARMA）模型（极-零点模型）。另一类是指数模型，它假定信号模型为一些指数信号的线性组合，可以是衰减的指数信号、非衰减的指数信号或正弦信号的线性组合。用参数模型法进行谱估计首先要选择一种适合被测信号的参数模型，其次用适当的方法估计出模型的参数，最后利用所得到的模型参数计算出信号的谱。因此能否正确选择信号的模型，确定模型的阶数，以及估计模型的参数是决定参数模型法谱估计质量的关键。

实际中的许多随机离散时间信号x（n），都可以表示为有理参数模型。该模型的输入如果是一个方差为σ²的白噪声序列u（n），输出为x（n），它们之间的关系可以用时域差分方程表示，即

或有理系统函数表示，即

H（z）=B（z）/A（z）（6-10）

式中

该模型称为ARMA模型，此模型的功率谱为

如果系数b_i=0，i=1，2，…，q，则称这种模型为AR模型。如果系数a_k=0，k=1，2，…，p，则称这种模型为MA模型。

有理系数模型中最常用的是AR模型。这种模型比较简单，且它是全极点模型，因此能较好地描述信号谱中的谱峰，表现出良好的频率分辨能力。AR模型中包括许多不同的方法，它们的区别在于估计AR模型的参数所用的方法不同。利用线性预测方法，如果令前向线性预测误差为最小，可得到一组标准方程（Normal Equations），写成矩阵形式为

或表示成

φ·A=γ （6-14）

若令

则φ（i，j）=R（i-j），即为自相关函数。这时的式（6-13）称为尤拉-沃克方程，利用Levinson快速递推算法可以求出AR参数。如果令

此时矩阵φ为协方差矩阵。可用侨莱斯基（Cholskey）分解法求解而得到AR参数。修正协方差可令前预测误差和后向预测误差的平均值为最小得到

代入矩阵式（6-13）即可求解AR参数。这种方法用于估计含有多个十分靠近的正弦信号的频率时优于AR方法。

同古典谱估计方法相比，由于AR模型是一个有理分式，因而估计出的谱比古典谱估计法估计出的谱平滑。古典谱估计法中的谱分辨率正比于2π/N，N是数据长度。AR模型谱的分辨率不受此限制，而主要取决于其极点接近单位圆的程度，每一个靠近单位圆的极点都将产生一个谱峰。在实际运用时，AR模型在谱估计上存在一些缺点。一个明显的缺点是谱分辨率和SNR有着密切的关系。SNR低时，分辨率就会下降；其二，谱估计的质量受阶次p的影响，p选得过低，谱太平滑，反映不出极点，p选的过大，可以产生虚假的峰值；其三，如果x（n）是含有噪声的正弦信号，峰值的位置易受x（n）初相位的影响，且有的算法中出现“谱线分裂”现象，即在本应有的一个谱线的位置附近分裂成两个谱线。通过算法的改进和一些其他措施，可以较好地克服这些缺点。

在MATLAB中对尤拉-沃克的求解有四种方法，即自相关法、协方差法、修正协方差法和Burg法，对应的函数分别为pyulear、pcov、pmcov和pburg，包含四个参数即随机信号序列x、AR模型阶数p、FFT长度nfft和取样率fs，函数返回信号x的AR功率谱估计P_xx及谱范围ω。假设平稳随机信号x（n）构成如下：

x（n）=sin（200nπ）+4sin（220nπ）+u（n）（6-18）

实现上述AR模型现代谱估计的MATLAB代码如下：