图4-12 变换域信号处理图对于N阶系统，时刻n输入xn=[x，x（n-1），…其中X1是1维N阶全相位输入信号，即式就是全相位数字信号处理得到的输出与输入的数学关系表达。把式称为全相位变换，矩阵A称为全相位变换基，矩阵T则为全相位变换核。综合以上，变换域全相位数字信号处理一种可能实现如图4-16所示。......
2025-09-29
二维全相位信号的信号处理特性
【摘要】：二维全相位在各种正交变换的基础上进行了全相位信号处理，一方面扩展了输入信号信息，另一方面对于不同相位信号进行不同权值的加权，从而使二维全相位信号处理在保留传统分块固有性质的同时也具备了一些特殊性质。可把基窗分解成若干个子基窗，从而得到信号不同加权情况下的全相位处理输出，其特性取决于子基窗的形状。以式中低通特性HLL为例，为保持全相位处理的严格零相位特性，仍使子基窗满足中心对称。
二维全相位在各种正交变换的基础上进行了全相位信号处理，一方面扩展了输入信号信息，另一方面对于不同相位信号进行不同权值的加权，从而使二维全相位信号处理在保留传统分块固有性质的同时也具备了一些特殊性质。定理1：N阶ap2 DFT系统具有线性相位的充要条件是：H（k）=H（N-k），且对于单窗系统要求非矩形窗中心对称，对于双窗系统要求F=B或者前后窗均中心对称。N阶ap2 DCT/DWT系统具有线性相位的充要条件是前后窗均中心对称。
证明：式（5-102）和式（5-106）对DFT和DCT/DWT的充分性给出了证明，这里只证明必要性。假设ap2线性相位如下：
φ（ω）=-τrωr-τcωc （5-113）
把式（5-99）展开求得相位并整理如下：
由式（5-114）可以看出，τr=τc=0时正弦部分关于（0，0）奇对称，式（5-114）恒成立的条件是Ar，c关于原点对称，从而得式（5-102）和式（5-106）结论，系统具有严格零相位。
定理2：N阶ap2系统对传输特性H具有线性性，即若H=α0H0+α1H1+…+αN-1 HN-1，则全相位处理特性apH等于各子处理特性apHi的加权和即apH=α0 apH0+α1 apH1+…+αN-1 apHN-1。
证明：式（5-99）说明apH对全相位变换基A具有线性性，而由式（5-94）又可知A对全相位变换核T具有线性性，由式（5-91）又有
综上，二维全相位处理特性apH对传输特性H具有线性性。利用此性质，可在行列方向上形成高、低通滤波器对二维信号如图像进行全相位处理从而将图像分解。以8阶ap2 DCT为例，行列方向频率二等分的四个子传输特性如下：
式（5-116）中0和1均表示4×4矩阵。对应4个全相位处理特性apHi（i=0～3）如图5-23所示。
图5-23 ap2 DCT四个子带处理特性曲面
此性质可用于设计图像多分辨率分解的全相位滤波器，相比于ap1只在各列进行处理而言，ap2更充分利用了行列间二维相关性。
定理3：N阶ap2系统对基窗F/B具有线性性。若F=α0F0+α1F1+…+αN-1 FN-1，则全相位处理特性apH等于各子处理特性apHi的加权和，即apH=α0 apH0+α1 apH1+…+αN-1 apHN-1，其中apHi是对应αiFi基窗的处理特性。
证明：式（5-99）说明apH对全相位变换基A具有线性性，而由式（5-93）又有：
所以，二维全相位处理特性apH对基窗F/B具有线性性。可把基窗分解成若干个子基窗，从而得到信号不同加权情况下的全相位处理输出，其特性取决于子基窗的形状。以式（5-116）中低通特性HLL为例，为保持全相位处理的严格零相位特性，仍使子基窗满足中心对称。对图5-17定义的三角窗进行分解的四个子基窗如下：
式（5-118）中1表示4×4矩阵。矩阵Bi的外围i周为0，中心为（8-2i）×（8-2i）的单位阵，Bi也可以理解由4×4单位矩阵B3经过三次膨胀而形成各子矩阵。以子基窗B i为后窗对应的4个apH i特性和剖面图（ωr=0）如图5-24所示。
由图5-25可看出，不同子基窗对应的特性在主瓣能量占比、带内波动性和过渡带宽度等方面都发生了变化，其综合效果是对性能的某种程度改善。因此，通过调整基窗形状来优化全相位处理特性是值得研究的内容。
定理4：N阶ap2 DFT系统频率响应函数等于频率采样向量H与卷积窗C的离散卷积。即频率响应函数可通过频率采样序列内插实现，其内插函数为卷积窗谱函数。
证明：把式（5-98）代入式（5-99）得ap2 DFT系统频率响应如下：
图5-24 ap2 DCT四子窗对应apHi特性
式中，Ф（ωr，ωc）是卷积窗C的谱。由式（5-98）可知，Ф（ωr，ωc）等于前基窗谱和后基窗共轭谱乘积，即
Φ（jωr，jωc）=F（jωr，jωc）·B（jωr，jωc） （5-120）
对于ap2n DFT，前后窗谱如下：
所以，ap2 DFT系统频率响应函数等于
从式（5-122）可以看出，插值函数Ф（ωr，ωc）只有在r=u′和c=v′时有非零值1，所以，线性ap2 DFT系统频率响应函数在（2rπ/N，2cπ/N）的取样值等于：
式（5-123）表示ap2 DFT系统频率响应函数经过H每个采样点。为使式（5-119）恒成立，卷积窗也需要满足一定的条件。定理5：N阶ap2ns DFT系统频率响应函数满足apH（ωr，ωc）|ωr=2 r π/N，ωc=2 c π/N，=Hr，c的充要条件是卷积窗C中心点等于1；apDW则满足apH（ωr，ωc）|ωr=2 r π/N，ωc=2 c π/N，<Hr，c。
证明：由式（5-119）可得如下：
对于ap2ns DFT，结合图5-16和图5-17可知卷积窗与前基窗f的关系如下：
(https://www.chuimin.cn)
将式（5-125）的结果代入式（5-124），并经简单整理得到：
但是，对于ap2d DFT来说，由于前后基窗均是非矩形平面，不再具有式（5-125）的结论。按照与上面的方法得到卷积窗C与前基窗f和后基窗b关系如下：
对于线性相位ap2d DFT即f=b，由式（5-127）易知：
显然，如果此时用C0，0对式（5-125）进行归一化，由式（5-128）的结论可知全相位特性在频率采样点的值小于频率采样，即
以图5-17定义的三角窗为例，画出（Cr，c+Cr-N，c+Cr，c-N+Cr-N，c-N）/C0，0，如图5-25所示。
图5-25 三角窗归一化自相关曲面
实现图5-25的MATLAB代码（省略画图部分）如下：
定理6：二维数据经过W-O处理后的自相关性降低，卷积双窗时降幅最大。
证明：二维信号W-O处理过程如图5-26所示。
无限长宽序列x的自相关函数可取（2N-1）×（2N-1）个数据来进行衡量，并假设相关性平稳即与时间起始点无关，可表示如下：
图5-26 二维W-O处理示意图
全相位变换后信号xa的自相关等于：
设x为确定复指数信号矩阵，用最大幅值进行归一化后的元素xi，j=AWαii+φWjβj+θ（其中Wi=e-j2π/M，W j=e-j2π/N，α、β、φ、θ为实变量）代入式（5-129）并令m=n=0，可得，x最大自相关为
将xi，j表达式代入式（5-129）并令m=n=0可得xa最大自相关为
将式（5-131）的结论代入到式（5-132）中，并利用三角函数小于1的性质可得：
由式（5-125）和式（5-126）的结论知，对于ap2ns的归一化卷积窗C满足：
ci，j+c-M+i，j+ci，-N+j+c-M+i，-N+j=1 （5-134）
由式（5-128）的结论可知，对于ap2d的归一化卷积窗C满足：
ci，j+c-M+i，j+ci，-N+j+c-M+i，-N+j<1 （5-135）
因此，对于ap2nsd处理后数据的相关性均减小，即满足：
rxaxa（0，0）≤rxx（0，0） （5-136）
由于双窗时的相关性进行了第二次降低，因此ap2d处理具有最大降幅。
假设输入的复信号为实部和虚部均是均值为0，且方差为1的高斯白噪声，采用N2阶进行W-O处理后的信号对比原信号自相关结果如图5-27所示。
实现图5-27所示结果的MATLAB代码如下：
图5-27 二维W-O处理后相关性对比
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