二维DCT和DWT全相位技术详解

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：对于ap2 DCT的全相位变换核，有式中符号表示异或运算。基于此结论的ap2 DCT和ap2 DWT的全相位变换基也具有对称性。以图5-20给出的3种卷基窗分别形成的二维apDCT传输特性如图5-21所示。图5-21 ap2nsd DCT特性曲面及曲线图从图中可看出apDCT的平滑性好于apDFT，ap2d DCT的衰减特性比ap2n DCT低20dB，但由于采用与ap2n DCT和ap2s DCT相同的归一化条件，峰值幅度低于1且过渡带宽度增大。

对于二维余弦变换，α=C，β=C^T，代入到式（5-64）并简单整理可得：

相乘的四个余弦基元素不能进一步合并，所以余弦全相位核没有更具体的表达形式。对于二维沃尔什变换，α=W_N，β=α，代入到式（5-64）并简单整理可得：

式（5-104）中符号表示异或运算。对于ap² DCT的全相位变换核，有

当N是2的整数幂时，pu=（N-1-p）（N-1-u），所以式（5-105）的结论对二维apDWT的核仍然成立。基于此结论的ap² DCT和ap² DWT的全相位变换基也具有对称性。根据式（5-94）的定义，位于第四象限的A—元素A_r，c的中心对称是位于第一象限的A⁺⁺的元素A_-r，-c，两者的关系（假定双基窗均经过归一化处理）推导如下：

式（5-106）成立的条件只是要求基窗具有中心对称性，即对于任意传输矩阵H，全相位处理的特性都具有严格零相位。同样可证明，当前后基窗分别具有水平和垂直对称性时，全相位基又满足如下：

对于第四象限的A—元素A_r，c的转置，可推导出如下结论：

当前后基窗满足主对称性，且全相位核满足如下条件时，A_r，c也具有了主对称性。

结合式（5-103），若式（5-109）成立，则有

对于二维apDWT，则有

综合以上，对于ap^2d DCT和ap^2d DWT，我们有如下结论：

1）当前基窗F和后基窗B具有中心对称性时，全相位基中心对称；(https://www.chuimin.cn)

2）当前后基窗水平/垂直对称时，全相位基水平/垂直对称；

3）当前后基窗和传输矩阵H主对称时，全相位基满足主对称性；

在对二维信号进行全相位处理时，基窗的选择和H的设定是必须考虑的问题。如果认为其他像素与中心像素的相关性与距离成反比且各向同性，则基窗应定义为中心各向对称，即同时满足水平、垂直、中心和主对称。根据信号相关性分布方向来自适应设置基窗以达到一定条件下的最优全相位信号处理效果是值得研究的内容。对于H的定义，则与处理的目标任务相关，即由在各个方向上不同列率信号分量的取舍来决定。如果行列上情形相同，则H具有主对称性。下面的讨论中，除非特别指出，前后基窗相等且具有中心各向对称性，H也满足主对称性。假设H定义如下：

以图5-20给出的3种卷基窗分别形成的二维apDCT传输特性如图5-21所示。

图5-21 ap^2nsd DCT特性曲面及曲线图

从图中可看出apDCT的平滑性好于apDFT，ap^2d DCT的衰减特性比ap²ⁿ DCT低20dB，但由于采用与ap²ⁿ DCT和ap^2s DCT相同的归一化条件，峰值幅度低于1且过渡带宽度增大。相比而言，ap^2s DCT在衰减特性和过渡带宽度都表现出良好特性。生成图5-21所述功能的MATLAB代码（只列出与ap^2nsd DFT不同的部分）如下：