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二维傅里叶变换原理及应用

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：由式容易推导出傅里叶变换基矩阵如下：这里假设图像由N×N个元素组成。表5-14 阶傅里叶基本图像指数由式可得到傅里叶基本图像见表5-1。需要指出的是，傅里叶基本图像都是复图像。图5-34 阶傅里叶基本图像由图5-3可以看出，实部和虚部相位差是π/2，对于4阶傅里叶变换的空间单位频率是2π/4，即实部和虚部按隔行或隔列对准。

傅里叶变换是变换域分析的一种，在图像处理中是一种有效且重要的分析手段，因为有些处理方法直接和滤波概念相联系，需借助傅里叶变换把空间域信号映射到空间频率域上来分析。此外，借助傅里叶变换，可简化计算或作某种特殊应用如数据压缩等。离散傅里叶变换对建立了空间位置函数f（x，y）与空间频率函数F（u，v）之间的转换关系，正反变换如下：

x，y=0，1，2，…，N-1

这里假设图像由N×N个元素组成。由式（5-36）容易推导出傅里叶变换基矩阵如下：

用矩阵表示式（5-36）如下：

T_F=F_NXF_N （5-38）

式（5-38）对应的逆变换为

X=F_N^*T_FF_N^* （5-39）

式中，*表示共轭。以N=4为例，为讨论方便，元素坐标原点设在矩阵X和T的中心。逆变换基矩阵等于：

由式（5-39）可得到傅里叶基本图像见表5-1。

表5-14 阶傅里叶基本图像指数

记W_N=exp（-j2π/N），则傅立叶基本图像由W_NF（i，j）得到，共有16个傅里叶基本图像，每个图像是4×4个像素矩阵。需要指出的是，傅里叶基本图像都是复图像。MATLAB实现的基本图像和傅里叶谱图的代码如下：

运行结果如图5-3与图5-4所示。

图5-34 阶傅里叶基本图像

由图5-3可以看出，实部和虚部相位差是π/2，对于4阶傅里叶变换的空间单位频率是2π/4，即实部和虚部按隔行或隔列对准。由图5-4可以看出，基本图像的频谱是分布在（u，v）处的单点频率，分别表示在行列方向上的空间频率。

离散傅里叶变换建立了空间位置函数f（x，y）与空间频率函数T（u，v）之间的转换关系。数字图像处理中经常要用到图像的空间域与空间频域之间的对应关系及其相互转换规律。

图5-44 阶傅里叶基本图像频谱图

（1）线性

令{f（x，y）}表示离散函数f（x，y）的傅里叶变换，即T（u，v）={f（x，y）}，则式（5-36）定义的傅里叶变换为

{af₁（x，y）+bf₂（x，y）}=a{af₁（x，y）}+b{f₂（x，y）}=aT₁（u，v）+bT₂（u，v）（5-41）

（2）180°旋转

{{f（x，y）}}=f（-x，-y）（5-42）

（3）改变符号

{f（-x，-y）}=T（-u，-v）（5-43）

（4）改变标度因子

{f（ax，by）}=T（u/a，v/b）（5-44）

（5）空间位置平移

如果f（x，y）在x轴、y轴上分别平移了x₀、y₀，则有

{f（x-x₀，y-y₀）}=T（u，v）exp[-j2π（ux₀/M+vy₀/N）]（5-45）

（6）空间频率平移

{f（x，y）exp[j2π（u₀x/M+v₀y/N）]}=T（u-u₀，v-v₀）（5-46）

（7）循环卷积

如果f_P（x，y）和g_P（x，y）是周期为（N，N）的二维函数，做循环卷积f_P（x，y）☉g_P（x，y），则有

对于坐标尺寸为M×N两个非周期函数f（x，y）和g（x，y），则需要先进行周期延拓成N×N周期函数。若N≥2M-1，则先补零成为坐标尺寸为N×N的函数，再做周期延拓成两个周期函数f_P（x，y）和g_P（x，y），若K和L为整数，则有

f_P（KN+m，LN+n）=f_P（m，n）g_P（KN+m，LN+n）=g_P（m，n）（5-48）

显然在一个周期内的循环卷积等于普通卷积。验证上述性质的MATLAB代码如下：